不等式の証明における微分と単調増加の範囲における等号の違い

高校数学の不等式の証明で微分を利用する際、単調増加の範囲を書くときに等号が書かれている場合と書かれていない場合があります。この違いについて理解することは、微分を使った証明において非常に重要です。今回はその違いを詳しく解説します。

1. 単調増加とは

まず、単調増加とは関数がある範囲内で常に増加していることを意味します。数学的には、関数f(x)が区間[a, b]で単調増加しているとは、任意のx1, x2に対してx1 < x2ならばf(x1) ≤ f(x2)が成り立つことを言います。

2. 等号を含む場合と含まない場合の違い

微分を利用して単調増加の範囲を求めるとき、等号がつく場合とつかない場合があり、その違いは関数の挙動に関連しています。もしf'(x) > 0であれば、関数は厳密に単調増加します。しかし、f'(x) = 0の場合もあり、その場合には単調増加とは言えませんが、定常状態（増加しないが減少もしない状態）である可能性があります。

3. 等号が付かない場合

微分の結果としてf'(x) > 0が得られた場合、その関数は厳密に増加しているため、等号は付けません。このような場合、関数は全てのxに対して増加していると言えます。

4. 等号が付く場合

一方、微分結果がf'(x) = 0の場合、その関数は単調増加と定義される場合でも、増加しない部分（定常部分）が存在します。このため、その範囲を記述する際に、等号を付けて「増加しているか、または一定」であることを明示的に示します。

まとめ

微分を用いた単調増加の証明で等号を使うか使わないかは、関数が厳密に増加しているのか、それとも増加するか一定の範囲があるのかによって異なります。等号がつく場合は、関数が一定である範囲が含まれていることを意味します。