集合や直積、関数、べき集合は高校数学の初期に登場しますが、定義が分からないまま進むと一気に理解が苦しくなります。本記事では、具体的な集合を例にしながら、直積の求め方、要素数の考え方、関数の個数、べき集合の意味までを順序立てて整理します。
まずは集合TとQの確認
ここでは、T＝{0,1,2}、Q＝{0,1,2,3}という2つの集合が与えられています。
集合の問題では、まず「何が要素として含まれているか」を正確に把握することが重要です。
直積T×Tの考え方
T×Tとは、「Tの要素を1つ目、Tの要素を2つ目に取った順序つきの組」の集合です。
具体的には、(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)のようにすべてを書き出します。
T×Tの要素数の求め方
Tには3つの要素があるため、1つ目の選び方が3通り、2つ目も3通りあります。
よって、|T×T|＝3×3＝9となります。書き出さなくても掛け算で求められる点がポイントです。
関数f:T×T→Qの個数
T×Tには9個の要素があり、それぞれに対してQの要素を1つずつ対応させます。
Qには4個の要素があるため、関数の個数は4の9乗、つまり4⁹通りになります。
べき集合P(T)とは何か
べき集合P(T)とは、集合Tの「すべての部分集合」を集めた集合です。
T＝{0,1,2}の場合、空集合、{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}が含まれます。
べき集合の要素数の考え方
要素が3個の集合では、それぞれの要素を「入れる・入れない」で考えられます。
そのため、|P(T)|＝2³＝8となります。これは一般的に覚えておきたい重要な公式です。
よくあるつまずきポイント
直積と組合せを混同したり、関数の個数で指数を間違えるケースが多く見られます。
定義に立ち返り、「何を何に対応させているのか」を言葉で説明できるかが理解の目安になります。
まとめ
集合の直積は順序つきの組、要素数は掛け算、関数の個数は値の選び方の累乗、べき集合は部分集合の集まりとして考えるのが基本です。具体例を一つずつ確認することで、抽象的な集合の問題も確実に理解できるようになります。
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