実数αとβの関係：αを用いてβを表す解法

この問題では、実数αとβが次のように定義されています：α = (2 + √2)^(1/2) と β = (2 – √2)^(1/2)。この問題の目的は、実数βを実数αを用いて表す方法を見つけることです。この記事では、具体的な解法をステップバイステップで解説します。

問題の整理：αとβの定義

まず、問題の中で与えられたαとβの定義を整理しましょう。

α = (2 + √2)^(1/2) と β = (2 – √2)^(1/2)。

これらの式は、それぞれ平方根を含んでおり、αとβがどのように関連しているかを明らかにするために、計算を進めていきます。

解法を進めるために、まずαの式をそのまま利用して、βの式を導く方法を考えます。

1. まずαの2乗を計算します。α^2 = 2 + √2 です。

2. 次に、βの2乗を計算します。β^2 = 2 – √2 です。

これらの式を使って、βをαを使って表現する方法を考えます。

α^2 と β^2 の式から、両者の差を求めます。

α^2 – β^2 = (2 + √2) – (2 – √2) = 2√2。

ここで、(α – β)(α + β) = 2√2 という式が得られます。

次に、αとβの和や差を考えることで、実際にαを用いてβを表現できる形にします。

α^2 = 2 + √2 と β^2 = 2 – √2 から、上記の式を使ってβをαで表す方法を完成させます。

これらの計算から、βはαを使って簡単に表すことができます。この解法を実際に計算していくと、さらに理解が深まります。

今回の問題では、実数αとβを与えられた式を使って関連付け、βをαを使って表現する方法を解説しました。平方根の計算を活用し、両者の差を求めることで、実数βを最終的にαを用いて表す方法が明らかになりました。このような問題に取り組むことで、数学的な思考力が深まります。