線形空間論において、特定の関数に対する基底の表現行列を求める問題はよく出題されます。特に、問題のように非線形な関数が関わる場合、適切な処理を施すことが重要です。このページでは、与えられた問題の中で関数f(P(x)) = (x+3)P(x) + P'(x)に対して、基底 {1, x, x²} のもとで表現行列をどのように求めるかを解説します。
1. 問題の設定と目的
与えられた関数f(P(x)) = (x+3)P(x) + P'(x)において、基底 {1, x, x²} に対する表現行列A_fを求めることが求められています。具体的には、関数fがどのように各基底ベクトルに作用するかを示す行列を求めます。
問題の中で、x²に関する項がx³を含むため、どのように処理するかがポイントです。
2. 関数f(P(x))の計算
まず、関数f(P(x))の作用を基底ベクトルに対して計算してみましょう。基底ベクトルは{1, x, x²} ですので、各ベクトルに対するfの作用を順番に求めます。
1) f(1) = (x+3) * 1 + 0 = x + 3
2) f(x) = (x+3) * x + 1 = x² + 3x + 1
3) f(x²) = (x+3) * x² + 2x = x³ + 3x² + 2x
3. x³項の処理
問題に登場するx³の項についてですが、与えられた基底{1, x, x²}にはx³の項が含まれていません。そのため、x³の項は基底に従って0とみなされ、他の項のみが基底{1, x, x²}に沿って表現されます。
したがって、f(x²) = x³ + 3x² + 2xにおけるx³の項は、無視されるか、0として処理されることになります。最終的に、f(x²)は3x² + 2xとして表されます。
4. 表現行列の求め方
基底{1, x, x²}に対する各ベクトルの表現を計算したので、これらを行列形式で表現します。表現行列A_fは以下のように求められます。
f(1) = x + 3 → 0x + 1x + 0x²
f(x) = x² + 3x + 1 → 1x + 3x² + 1
f(x²) = 3x² + 2x → 2x + 3x²
5. 最終的な表現行列A_f
基底{1, x, x²}に対する表現行列A_fは次のように求められます。
A_f =
[ 0 1 0 ]
[ 1 3 1 ]
[ 0 2 3 ]
これが、関数fの基底{1, x, x²}に対する表現行列です。
6. まとめ
問題におけるx³の項は基底{1, x, x²}において無視する必要があり、最終的に求めた表現行列A_fは、与えられた関数f(P(x))に基づいて正確に導かれました。こうした計算を行うことで、線形空間における関数の表現を理解し、最適化することができます。
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