y = (log₁/₂x)³ + a(log√2x)(log₄x³) の最大値を求める方法

本記事では、関数y = (log₁/₂x)³ + a(log√2x)(log₄x³) の最大値を求める問題について、計算過程を解説します。t = log₂x の変数変換を用いて、式をaおよびtを使って表し、最大値を求める方法を詳しく説明します。

問題の整理

与えられた関数は、y = (log₁/₂x)³ + a(log√2x)(log₄x³) です。ここで、変数t = log₂xとおくことで、式をaとtを用いた形に変換します。

まず、log₁/₂x や log√2x、log₄x³ などの項をログの底の変更を行い、式を簡単にします。この変換により、yの式はtの式として表すことができます。

t = log₂x を使うことで、次のように式を変換できます。

y = (-log₂x)³ + a(2log₂x)(3log₂x/2) = -t³ + 3at²

これにより、yはtの三次関数として簡単に表現され、問題を解くためのステップが明確になります。

xの範囲が 1/2 ≦ x ≦ 8 のとき、yの最大値を求めます。まず、tの範囲は -1 ≦ t ≦ 3 です。この範囲でyの最大値を考えます。

関数f(t) = -t³ + 3at²の最大値を求めるため、まずf'(t) = -3t² + 6at を計算し、f'(t) = 0となるtの値を求めます。

f'(t) = -3t² + 6at = 0 となり、t = 0 または t = 2aとなります。

f(t)の増減を調べるため、増減表を作成します。tが-1から3、または2aの範囲でどのように増減するかを確認します。

増減表を基に、最大値の候補はf(-1)またはf(3)となり、計算すると、最大値M = f(3) = 27a – 27 となります。

a = 3/2の場合、増減表を用いてf(-1)またはf(3)の最大値を比較し、最大値M = f(3) = 27/2 となります。

aが0と3/2の間である場合、最大値の候補はf(-1)またはf(2a)となり、最大値M = f(2a) = 4a³となります。

最大値Mは以下のように求められます。

これらの結果を踏まえて、関数yの最大値はaの値によって異なることが分かります。問題文に記載された範囲で、適切な最大値を選び、答えを導き出します。