高校数学の問題：円x^2 + y^2 = r^2上の接線とその外側にある点から引かれる接線

この記事では、高校数学の問題で求められる円x^2 + y^2 = r^2上の接線とその外側にある点から引かれる接線について詳しく解説します。問題の各部分について、式の導出を省略せずに説明しますので、理解を深めることができます。

問題の確認

問題は、原点を中心とする半径rの円上の接線の方程式を求めるものです。特に、円の外側にある点から引かれる接線の本数に関する問題を解決します。

接線の方程式 (1)

まず、円x^2 + y^2 = r^2上の点(p, q)における接線の方程式を求めます。円の方程式から、接線の一般的な方程式は「px + qy = r^2」であることがわかります。これが接線の方程式です。

接線が点(s, t)を通る条件 (2)

次に、円上の接線が点(s, t)を通る場合の条件を求めます。接線の方程式が「px + qy = r^2」であり、点(s, t)が接線上にあるためには、この方程式に点(s, t)の座標を代入した式「ps + qt = r^2」が成り立つ必要があります。

点(s, t)が円の外側にあることを示す不等式 (3)

問題の(3)では、点(s, t)が円x^2 + y^2 = r^2の外側にあることを不等式で表します。外側にあるためには、点(s, t)の距離が円の半径rよりも大きい必要があります。したがって、この不等式は「s^2 + t^2 > r^2」となります。

円の外側にある点から引かれる接線が2本あることを示す (4)

問題の(4)では、円の外側にある点(s, t)から引かれる接線が2本あることを示します。円の外側にある点からは、必ず2本の接線を引くことができます。これは、接線が円に1点で接するため、外側の点からは2つの接線が可能であるためです。したがって、接線の本数は常に2本であることが確認できます。

まとめ

この問題では、円の接線の方程式や、外側にある点から引かれる接線の本数に関する理解を深めることができました。接線の方程式は「px + qy = r^2」となり、点(s, t)が円の外側にある場合、2本の接線が引かれることが示されました。問題を解く際には、各条件をしっかりと確認しながら式を進めることが重要です。