数学問題：sinα – sinβとcosα + cosβを使ったcos(α – β)の求め方

この数学の問題では、与えられた式を使ってcos(α – β)を求める方法を解説します。問題の条件は、sinα – sinβ = 5/4 および cosα + cosβ = 5/4です。

1. 与えられた条件と目標

まず、与えられた式は以下の通りです：
sinα – sinβ = 5/4
cosα + cosβ = 5/4
目標は、cos(α – β)を求めることです。cos(α – β)は三角関数の加法定理を使って求めることができます。

2. cos(α – β)の三角関数の加法定理

cos(α – β)を求めるためには、三角関数の加法定理を使います。加法定理により、cos(α – β)は次のように表せます：
cos(α – β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ

3. 与えられた式に基づく計算

次に、与えられた式を使ってcosα * cosβとsinα * sinβの値を求めます。まず、sinα – sinβ = 5/4 と cosα + cosβ = 5/4 を使って、それぞれの二乗の項を計算します。計算すると、cos^2α + 2cosαcosβ + cos^2β – sin^2α + 2sinαsinβ – sin^2β = 0 という形になります。

4. 2乗項を消去する方法

ここでの重要なステップは、2乗項を消去して簡単な式にすることです。sin^2αやcos^2αはPythagorean identity（a^2 + b^2 = 1）を利用して簡単に処理できます。これにより、問題を解くための簡単な式に変換できます。

5. 結果と解法のまとめ

最終的に、cos(α – β)の値は計算により求められます。この問題では、与えられた条件をうまく利用し、三角関数の性質を駆使して解くことが求められます。