平方完成を使って不等式を解く方法： (x+1)(x^2-x+1) > 0 の範囲を求める

この問題では、(x+1)(x^2-x+1) > 0 の範囲を求めるために、平方完成を使う理由について説明します。平方完成とは、2次式を完全な平方の形に変形する手法です。これを使うことで、解を求める過程をより簡単にしたり、問題を視覚的に理解しやすくしたりすることができます。

1. (x+1)(x^2-x+1) の基本的な理解

まず、与えられた不等式 (x+1)(x^2-x+1) > 0 を考えます。この式は二つの項の積が0より大きいという不等式です。それぞれの項について、どういう性質があるのかを理解することが、問題解決の鍵となります。

2. x^2-x+1 の平方完成

x^2 – x + 1 は、平方完成によって変形できます。平方完成をするためには、最初に x^2 – x を考えます。これを平方の形にするためには、(x – 1/2)^2 – 1/4 という形に変形できます。

このように変形すると、x^2 – x + 1 は次のように表せます。

(x – 1/2)^2 + 3/4

この式を使うことで、x^2 – x + 1 は常に正の値を持つことがわかります。つまり、x^2 – x + 1 は x の値に関わらずゼロ以上になります。

3. 不等式の解法

次に (x+1)(x^2-x+1) > 0 を解くためには、(x+1) と (x^2-x+1) の符号を調べる必要があります。x^2 – x + 1 が常に正であることがわかっているので、(x+1) の符号だけを確認すれば良いです。

(x+1) > 0 のとき、x > -1 となり、(x+1)(x^2-x+1) > 0 となります。したがって、この不等式が成り立つのは、x > -1 の範囲です。

4. まとめ

(x+1)(x^2-x+1) > 0 の解は、x > -1 という範囲にあります。平方完成を用いて x^2 – x + 1 を簡単に扱うことができ、その結果、(x+1) の符号に注目することで解を得ることができました。このように平方完成を用いることで、問題が視覚的にわかりやすくなり、解法がシンプルになります。