重積分の計算: ∫∫D xy/（1+x²+y²)³ dxdy の解法

この問題では、重積分の計算を行います。関数 xy/(1+x²+y²)³ を指定された領域 D において積分する問題です。領域 D は、0 ≦ x, 0 ≦ y と指定されています。では、解法をステップごとに解説していきます。

問題の整理

与えられた積分式は次のようになっています。

∫∫D xy/(1+x²+y²)³ dxdy, 0 ≦ x, 0 ≦ y

ここで、積分の範囲は x と y がそれぞれ 0 以上の範囲です。この積分を解くために、まずは変数の置き換えや簡単化を行っていきます。

この積分は極座標を使って計算するのが一般的です。まず、x と y を極座標に変換することで、積分が扱いやすくなります。極座標での変換は以下の通りです。

x = r cos(θ), y = r sin(θ), dxdy = r drdθ

これを積分式に代入すると、積分範囲や積分式が極座標に合わせて変わります。

変換後の積分式は次のようになります。

∫∫D r² cos(θ) sin(θ) / (1 + r²)³ r dr dθ

ここで、r² cos(θ) sin(θ) の項が出てきますが、これは積分する上で整理する必要があります。積分範囲は、x と y が0から無限大まで動く範囲なので、r は 0 から ∞、θ は 0 から 2π までとなります。

積分を実行すると、r に関する積分が最初に計算されます。その後、θ に関する積分を行います。この過程では、積分の難しさを減らすために、適切な置き換えを使用します。最終的な結果は、次のような形式になります。

∫₀²π ∫₀∞ r³ cos(θ) sin(θ) / (1 + r²)³ dr dθ

この式を計算することで、最終的な積分の結果を得ることができます。計算には定積分の方法を使用し、次のような解を得ることができます。

この問題では、与えられた関数を極座標に変換することで積分を扱いやすくし、計算を行いました。積分の計算を通じて、変数変換の重要性と、積分範囲の設定方法を学ぶことができます。理解を深め、実際に積分の計算を行ってみることで、より正確な解法を得ることができます。