大学数学の微積分の問題で、「xye^(-xy)」の二次偏導関数を求める方法について解説します。この問題では積の微分法（積の法則）を使用しますが、特にxで微分する際にyをどのように扱うかに悩む方が多いです。この記事では、問題をステップごとに分けて、具体的にどのように計算していくかを説明します。
積の微分法（積の法則）とは
積の微分法は、二つの関数の積を微分する際に使用します。もし、関数が f(x) と g(x) の積であれば、微分は次のように行います。
積の微分法： (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
この法則を使って、複雑な関数を微分する際にも、各項に分けて計算することができます。
問題の関数の分解
今回の問題では、「xye^(-xy)」という関数があります。この関数は、二つの部分（x * y と e^(-xy)）の積ですので、積の法則を使って微分します。まず、この関数を二つの部分に分けます。
f(x) = x * y と g(x) = e^(-xy)
ここで、yはxに依存する関数と見なして微分を行う必要があります。
一回目の偏導関数（xでの偏導）
まず、xで微分します。積の法則を使い、f(x) = x * y と g(x) = e^(-xy) の偏導をそれぞれ求めます。
f'(x) = y + x * (dy/dx) （yのxに対する偏導を含む）
g'(x) = e^(-xy) * (-y) （連鎖律を使用）
これを積の法則に当てはめると、xでの偏導数は。
∂(xye^(-xy))/∂x = (y + x * (dy/dx)) * e^(-xy) + x * y * (-y) * e^(-xy)
二回目の偏導関数
次に、二回目の偏導関数を求めます。yについての偏導も計算に含めて行います。この段階では、さらに一つの微分が加わります。計算は少し煩雑になるので、すべての項における微分を順番に求めていきます。
二回目の微分では、最初に求めた微分の各項において再び積の法則を適用し、すべての項を計算します。途中でxとyの関係を利用し、必要に応じて連鎖律も適用します。
まとめ
「xye^(-xy)」の二次偏導関数を求めるには、まず積の微分法を用いてxでの偏導を計算し、その後、再度微分を繰り返します。特に、yはxに依存する関数として取り扱い、微分時には連鎖律も適用する必要があります。最初に微分した結果をしっかり理解し、二回目の微分を正確に計算することが求められます。
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