「f(x,y) = √(4x²y + 5xy²)」という関数のグラフ上の点(1,1,f(1,1))における接平面の方程式を求める問題について解説します。微分を使って接平面の方程式を導く方法を段階的に説明し、計算の流れを明確にしていきます。
接平面とは？
接平面とは、ある点で曲面と接する平面のことです。この平面は、曲面のその点における傾きを表し、微分を使って求めることができます。接平面の方程式は、点とその点での微分係数を用いて求めます。
一般的に、接平面の方程式は次のように表されます。
z – z₀ = fx(x₀, y₀)(x – x₀) + fy(x₀, y₀)(y – y₀)
ここで、(x₀, y₀, z₀)は接点の座標、fx(x₀, y₀)はxに関する偏微分、fy(x₀, y₀)はyに関する偏微分です。
f(x,y) の偏微分を求める
次に、関数f(x,y) = √(4x²y + 5xy²) の偏微分を計算します。まず、関数を以下のように再整理します。
f(x,y) = (4x²y + 5xy²)^(1/2)
この関数をxおよびyについて偏微分していきます。まず、xについて偏微分を行うと。
fx(x,y) = (1/2)(4x²y + 5xy²)^(-1/2) × (8xy + 5y²)
次に、yについて偏微分を行うと。
fy(x,y) = (1/2)(4x²y + 5xy²)^(-1/2) × (4x² + 10xy)
接平面の方程式を求める
次に、点(1,1,f(1,1))における接平面の方程式を求めます。まず、f(1,1)を計算してz₀を求めます。
f(1,1) = √(4(1)²(1) + 5(1)(1)²) = √(4 + 5) = √9 = 3
したがって、z₀ = 3となります。
次に、(x₀, y₀) = (1,1)におけるfxおよびfyを計算します。fx(1,1)およびfy(1,1)をそれぞれ求めると。
fx(1,1) = (1/2)(9)^(-1/2) × (8(1)(1) + 5(1)²) = (1/2)(1/3) × (8 + 5) = 13/6
fy(1,1) = (1/2)(9)^(-1/2) × (4(1)² + 10(1)(1)) = (1/2)(1/3) × (4 + 10) = 7/3
接平面の方程式
接平面の方程式は次のように求められます。
z – 3 = (13/6)(x – 1) + (7/3)(y – 1)
これを整理すると。
z = (13/6)x + (7/3)y – 15/6 + 3
z = (13/6)x + (7/3)y – 15/6 + 18/6
z = (13/6)x + (7/3)y + 3/6
最終的に、接平面の方程式は。
z = (13/6)x + (7/3)y – 15/6 となります。
まとめ
「f(x,y) = √(4x²y + 5xy²)」の接平面の方程式を求める問題では、関数の偏微分を計算し、接点での微分係数を求めて、接平面の方程式を導きました。結果として得られる方程式は、z = (13/6)x + (7/3)y – 15/6 です。計算過程を理解しながら、順を追って解くことが大切です。
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