数学の問題解説：yの最大値と条件について

この問題では、関数yの最大値を求める方法と、その計算過程を解説します。問題文では、変数aとtを用いてyを表し、さらにyの最大値を求めるための条件を考察します。特に、関数yの最大値をaに依存させた表現を理解するための重要なステップを詳しく解説します。

1. yの式をa、t用いて表現

まずは、与えられた関数yをaとtを使って表現する方法を解説します。t = log₂xとすることで、yの式は次のように変換されます。y = (-log₂x)³ + a(2log₂x)(3log₂x/2) = -t³ + 3at²となり、簡単にy = -t³ + 3at²となります。これが最初の変換結果です。

2. xが1/2≦x≦8の範囲を動くときのyの最大値Mの求め方

次に、xが1/2≦x≦8の範囲でyの最大値Mを求めます。yの式をtで表現した後、関数y = f(t) = -t³ + 3at²と考え、tの範囲が-1≦t≦3に制限されることを考慮します。次に、f'(t) = -3t² + 6atの導関数を求め、t = 0、t = 2aという解を得ます。

3. 変数aに対する条件と最大値の評価

aが異なる範囲に応じて、yの最大値Mを評価します。具体的には、a > 3/2の場合、yはt = 3で最大値を取ります。一方、a = 3/2の場合、最大値Mはf(3) = 27/2となり、aが0 < a < 3/2の場合は、最大値はf(2a)であることが分かります。

4. 結果のまとめと解答

最終的に、yの最大値Mは次のように決まります。a > 3/2の場合はM = -27a + 27、a = 3/2の場合はM = 27/2、0 < a < 3/2の場合はM = -8a³ + 12aです。これにより、問題文の問いに対する解答が得られます。

まとめ

この問題では、与えられた関数の式を変換し、最大値を求めるための手順を解説しました。tとaを用いた式への変換と、その後の最大値の求め方が重要なステップとなります。最終的に、aの値に基づいて最大値Mを評価しました。