この問題では、偏微分方程式 ∑[k=1,n](∂^2u/∂xk^2) = 0 を満たす関数 u(x1, …, xn) を求める問題です。さらに、関数 u が r = √∑[k=1,n]xk だけの関数であることが与えられています。まずは、この式が意味することを理解し、問題の解法を順を追って解説していきます。
偏微分方程式の解析
∑[k=1,n](∂^2u/∂xk^2) = 0 は、関数 u の全空間におけるラプラス方程式であり、物理学や工学で重要な役割を果たします。ラプラス方程式は、各空間座標に関する2回の偏微分の合計がゼロであるという条件を示しています。これを満たす関数 u は、定常状態におけるポテンシャル関数や温度分布などとして現れることがあります。
r = √∑[k=1,n]xk という関数の意味
r = √∑[k=1,n]xk は、n 次元空間における点 (x1, x2, …, xn) と原点 (0, 0, …, 0) との距離を示します。この距離関数は、ユークリッド距離として広く知られており、r がこの形式で与えられることで、関数 u は空間内の位置だけに依存することがわかります。つまり、u は位置ベクトル x の大きさ r のみに依存する関数であり、各座標 xk に対する依存はありません。
解法：r のみに依存する関数 u
問題で与えられた条件に基づいて、u(r) として関数 u を r の関数として表現できます。ラプラス方程式が満たされるためには、次の形で u を求めることができます：
∂²u/∂r² + (n-1)/r * ∂u/∂r = 0
この微分方程式を解くことで、u(r) の解を得ることができます。特に、r のみに依存する場合、関数 u は次のように解けます。
u(r) = A * ln(r) + B
まとめ
結論として、与えられた偏微分方程式 ∑[k=1,n](∂²u/∂xk²) = 0 を満たす関数 u(x1, …, xn) は、r = √∑[k=1,n]xk のみに依存し、解は u(r) = A * ln(r) + B の形で表されます。この解法を通じて、ラプラス方程式とその解の取り扱い方について理解が深まることができます。
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