tan(90° – θ)の計算方法と加法定理からのアプローチ

tan(90° – θ)という式を考えたとき、加法定理を使って解く方法について疑問が生じることがあります。この式がどうして加法定理を使って求めることができないのか、そして他の方法で解くにはどうすればよいかについて、詳細に解説します。

加法定理とは

まず、加法定理とは、2つの角度の和や差を含む三角関数の値を求めるための公式です。例えば、sin(A + B)、cos(A + B)、tan(A + B)などの式に適用できます。これらの公式を使うことで、個別の三角関数の値を計算することができます。

加法定理を具体的に挙げると、tan(A + B)の場合は次のように表されます：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A * tan B)

tan(90° – θ)の計算

tan(90° – θ)という式ですが、加法定理を使って求めることができるかというと、実はこの式は加法定理の直接的な適用対象ではありません。しかし、tan(90° – θ)は三角関数の補角の性質を利用することで計算できます。

tan(90° – θ)は、次のように簡単に求めることができます：
tan(90° – θ) = cot(θ)

補角の性質とは

補角の性質とは、角度の和が90°になる2つの角度について、tanやsin、cosなどの三角関数に特定の関係が成り立つ性質のことです。特に、tan(90° – θ)はcot(θ)と等しいという関係が成り立ちます。

この補角の性質を利用することで、tan(90° – θ)を別の三角関数であるcot(θ)に簡単に変換することができます。これは加法定理を使う方法とは異なり、三角関数の基本的な性質を利用した解法です。

補角を使った計算の例

具体的にtan(90° – θ)を計算する例を見てみましょう。もしθ = 30°であれば、tan(90° – 30°)はcot(30°)と等しくなります。cot(30°)は1 / tan(30°)となり、tan(30°)は1/√3なので、cot(30°) = √3となります。

このように、補角の性質を使うことでtan(90° – θ)を簡単に計算できます。

まとめ

tan(90° – θ)を求めるために加法定理を使うことはできませんが、補角の性質を利用することで、tan(90° – θ)はcot(θ)に等しいことが分かります。この知識を使うことで、tanやcotなどの三角関数の計算を効率よく行うことができます。加法定理は別の三角関数の計算に有用ですが、このような補角の性質を理解しておくことが、数学の学習において重要です。