三角関数と外積におけるsinの使い方｜ベクトルA、Bとの関係

三角関数は直角三角形に基づいて定義されることが多いですが、ベクトルや外積の計算でも利用される場面があります。このため、三角関数と外積がどのように関係するのかについての疑問を解消します。

三角関数と外積の関係

まず、三角関数は直角三角形の角度と辺の比を使って定義されますが、ベクトルの外積においては直角三角形だけでなく、任意の二つのベクトルに対しても三角関数が利用されます。

外積の定義とsinの使用

外積は二つのベクトルの大きさと、両者のなす角のsin値を使って計算します。具体的には、ベクトルAとベクトルBの外積は次のように表されます：
|A × B| = |A| |B| sin(θ) ここでθはAとBの間の角度です。この式から分かるように、外積の大きさにはsinが使われており、これを使うことにより、直角三角形に基づく三角関数と同じように解釈できます。

直角三角形を使わない方法

質問にあるように、ベクトルAとBの間に垂直な直角三角形を作らずとも、外積の計算は可能です。AとBがなす角度を直接sinで計算することで、三角関数を利用する方法が確立されています。すなわち、ベクトル間の角度のsin値を使用して、外積の大きさを求めることができるのです。

まとめ

結論として、三角関数で使われるsinは直角三角形だけに限らず、外積を求める際にも利用されています。直角三角形にする必要はなく、ベクトルAとBの角度に基づいて計算されるため、外積の計算においても重要な役割を果たしています。