積分の問題でよく見られる式の一つに「∫sinx(sinx)’=1/2sinx^2」があります。この式は、微分と積分の基本的な法則を使うことで簡単に導き出すことができます。この記事では、この式が成り立つ理由とその導出方法をわかりやすく解説します。
積分と微分の基本的な関係
まず、積分と微分の基本的な関係について復習しましょう。微分の逆操作が積分であることを考えると、ある関数を微分した結果を積分すると、元の関数に戻ることがわかります。この関係を利用して、複雑に見える積分問題も簡単に解くことができます。
また、積分の際に「積分の部分分数分解」や「置換積分」などのテクニックを使うことがありますが、今回の問題はそれらを使わずに解けるシンプルな形です。
∫sinx(sinx)’の積分を考える
今回の式「∫sinx(sinx)’」を見てみましょう。この積分式は、sin(x)の関数とその微分を掛け合わせたものです。まず、sin(x)の微分は「(sin(x))’ = cos(x)」です。このため、式は次のように書き換えることができます。
∫sin(x) * cos(x) dx
積分の公式を利用して解く
ここで、積分の公式を使います。sin(x)とcos(x)の積を積分する場合、簡単な公式を使うことができます。具体的には、次の公式を使います。
∫sin(x) * cos(x) dx = 1/2 * sin^2(x)
この公式を使うと、元の式「∫sin(x) * cos(x) dx」の積分結果が「1/2 * sin^2(x)」になることがわかります。
まとめとその理由
つまり、「∫sinx(sinx)’=1/2sinx^2」という式が成り立つ理由は、sin(x)とその微分cos(x)を掛け合わせた積分が、1/2 * sin^2(x)に簡単に変換できるからです。微分と積分の基本的な法則を使うことで、この式は成立します。このように、積分のテクニックを使うことで、比較的簡単に計算できる問題であることがわかります。
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