ジョルダン標準形は、行列の対角化に関する重要な概念の一つです。特に、最小多項式が与えられた場合、そのジョルダン標準形がどのように表されるかについては、いくつかの疑問が生じることがあります。この記事では、最小多項式が p(t) = (t-2)^3 の場合におけるジョルダン標準形 j(2,3) と j(2,2) の違い、そして j(2,3) と j(2,1) + j(2,1) といった表記について解説します。
ジョルダン標準形とは？
ジョルダン標準形は、行列を簡素化した形にするための方法で、特に固有値とそれに対応する固有ベクトルを利用します。ジョルダン標準形は、行列の固有値に関連する「ジョルダンブロック」と呼ばれる小さな行列を組み合わせることで構成されます。
ジョルダン標準形は、対角化可能な行列の場合、対角行列として表されますが、一般的にはジョルダンブロックを用いて、より簡単な形で行列を表現することができます。
最小多項式とジョルダン標準形の関係
最小多項式が p(t) = (t-2)^3 の場合、固有値は 2 となります。このような場合、ジョルダン標準形の各ブロックの大きさは、最小多項式の次数に関係しています。
ジョルダン標準形の j(2,3) は、固有値 2 に対応するジョルダンブロックで、サイズが 3 であることを示します。これは、固有値 2 に関連する固有ベクトルが 3 つの異なる次元を持つことを意味します。
j(2,3) と j(2,1) + j(2,1) の違い
質問の中で「j(2,3)＋j(2,2)」と「j(2,3)＋j(2,1)＋j(2,1)」が比較されています。まず、j(2,3) は 2 のジョルダンブロックでサイズ 3 のものを指し、j(2,2) はサイズ 2 のものを指します。
一方で、j(2,1) は固有値 2 に対応するサイズ 1 のジョルダンブロックです。このようなブロックを 2 つ合わせて j(2,1) + j(2,1) と書くことはできますが、実際にはそのような表現は意味が異なります。なぜなら、ジョルダンブロックの順番や、サイズに対する理解が必要だからです。
どちらが正しいか？
「j(2,3)＋j(2,2)」は正しい表記で、これによってジョルダン標準形が表現されます。「j(2,1)＋j(2,1)」は、実際にはジョルダンブロックの意味が異なり、異なる形式のジョルダン標準形を意味します。したがって、質問の表記「j(2,3)＋j(2,1)＋j(2,1)」は、数学的には正しい表現ではありません。
まとめ
ジョルダン標準形を求める際には、最小多項式から固有値を特定し、それに対応するジョルダンブロックを組み合わせていきます。「j(2,3)＋j(2,2)」は正しい表記ですが、「j(2,1)＋j(2,1)」という表現は間違いであり、ジョルダン標準形におけるブロックのサイズや順番を正確に理解することが重要です。
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