関数の連続性と証明：a ∈ R における連続関数の定義とその性質

この記事では、関数の連続性に関する定義と、それを基にした性質を証明する方法を解説します。特に、a ∈ R における連続関数の定義と、連続関数に関する重要な命題を証明します。

1. 関数f : R → R がa ∈ R で連続であることの定義

関数f : R → R が実数aで連続であるとは、以下の条件を満たすことを意味します：
任意のε > 0 に対して、δ > 0 が存在して、|x – a| < δ ならば |f(x) - f(a)| < ε となること。

この定義は、f(x)がaにおいて途切れることなく連続していることを示します。すなわち、aに近づくxに対して、f(x)の値がf(a)に限りなく近づくということです。

2. 連続な関数f : R → R に対する命題の証明

次に、a ∈ R で連続な関数f : R → R に対して、以下の命題を証明します。

f(a) > 0 ならば、存在するc > 0 で、|x – a| < c ならば f(x) > 0 が成り立つ。

証明：

まず、f(a) > 0 であることから、ε = f(a) / 2 のようにεを選びます。連続性の定義により、δ > 0 が存在して、|x – a| < δ のとき、|f(x) - f(a)| < ε となります。すなわち、|f(x) - f(a)| < f(a) / 2 となり、f(x) > 0 となります。このようにして、c = δ として、|x – a| < c のときに f(x) > 0 が成立することが示されました。

3. 連続性に関する他の重要な性質

連続関数には、いくつかの重要な性質があります。例えば、連続関数は閉区間で最大値と最小値を取るという性質（最大値最小値定理）があります。さらに、連続関数は合成関数としても連続であり、連続関数の和や積もまた連続関数になります。

4. まとめ：連続関数の定義と性質の理解

関数の連続性は、数学における重要な概念であり、さまざまな応用に繋がります。特に、a ∈ R における連続関数の定義と、それに基づく命題の証明は、連続性を理解するための基礎となります。連続関数の性質を正確に把握することは、より高度な数学的な議論や解析において非常に重要です。