微分方程式 x^2y’ = y – (x/(1-x)) の解法と初期条件 y(0) = 0 の適用

与えられた微分方程式 x^2y’ = y – (x/(1-x)) と初期条件 y(0) = 0 の解を求める方法を解説します。この問題を解くためには、まず式を適切に整理し、変数分離法や積分を使って解を導き出します。

微分方程式の整理

まず、与えられた微分方程式 x^2y’ = y – (x/(1-x)) を整理します。微分方程式は y’ を含む形ですが、この式を解くためにはまず変数を分けて、y と x の項に分けることが必要です。次に、左辺の y’ を x と y に関する項に分けて整理します。

この段階で式を変形すると、y’ の形に整理できるので、変数分離法を使って積分する準備が整います。

変数分離法による解法

この微分方程式を変数分離法で解くためには、まず y’ = dy/dx の形にして、y と x の項をそれぞれ分離します。式を変形すると、次のような形にできます。

dy/dx = (y – (x/(1-x))) / x^2

この式を変形し、y と x をそれぞれ積分できる形にします。ここで重要なのは、式を正確に分離して、積分することです。

初期条件 y(0) = 0 の適用

次に、初期条件 y(0) = 0 を使って解を決定します。y(0) = 0 を式に代入することで、解の定数を求めます。これにより、積分の結果得られる定数が特定され、解が一意に決まります。

初期条件を使用することで、一般解から特定の解を得ることができるため、解の最終的な形が求まります。

解の最終形と検証

積分が完了した後、得られた解を元の微分方程式に代入し、両辺が一致することを確認します。また、初期条件 y(0) = 0 が正しく適用されていることを検証します。

この検証の過程で、解が正しいかどうかを確認することができ、最終的に得られた解が元の方程式を満たすかをチェックします。

まとめ

微分方程式 x^2y’ = y – (x/(1-x)) の解法は、変数分離法を使って式を整理し、初期条件 y(0) = 0 を適用することで解を求めることができます。初期条件を使って解の定数を決定し、最終的な解が正しいかどうかを検証することが重要です。数学の問題を解く際には、整理した式と積分の過程を慎重に進めることが求められます。