なぜ複素数の偏角は実部と虚部の比で決まるのか？

複素数の偏角は、複素数が平面上で表されるときの角度を示しますが、この偏角が実部と虚部の比によって決まる理由について理解するためには、複素数の極形式と座標平面での位置関係を考えることが重要です。

1. 複素数の基本的な理解

複素数は通常、a + biという形で表されます。ここで、aは実部、bは虚部です。複素数は座標平面上で、実部がx軸、虚部がy軸に対応する点としてプロットできます。このように、複素数は2次元平面上での点として扱われます。

複素数の偏角（θ）は、原点からその点まで引いた直線と実軸とのなす角度です。複素数を極形式で表すと、r(cosθ + isinθ)という形になり、ここでrは複素数の絶対値、θは偏角です。偏角は、実部aと虚部bの比であるtanθ = b/aで決まります。

複素数の偏角は、実部と虚部の比によって決まる理由は、座標平面上での直線の傾きに相当するからです。実部aと虚部bが与えられたとき、複素数の偏角は直線の傾きと一致し、この傾きはtanθ = b/aで表されるからです。この比率によって、複素数の位置が決まり、その結果として偏角も決まります。

偏角θは通常、arctan(b/a)で求めます。ただし、注意すべき点は、複素数が第1象限、第2象限、第3象限、第4象限に位置する場合、arctanだけでは正しい偏角が得られないため、atan2(b, a)を使うことで、全ての象限に対応した偏角を正確に求めることができます。

複素数の偏角が実部と虚部の比で決まる理由は、座標平面での直線の傾きに相当し、複素数の位置を示すために不可欠な要素です。実部と虚部の比を使うことで、複素数の位置を簡潔に理解し、偏角を求めることができます。