級数の極限を求める方法と計算過程の解説

この質問では、級数の極限を求める計算過程を解説します。特に、与えられた級数の式を求めるためのステップを順を追って説明します。まずは、級数の式を確認し、その後に計算の進行方法について詳しく説明します。

与えられた級数の式

質問に記載された級数の式は次のようになります。

Σ (n=1 → ∞) [( (1 + e^(-π)) / 2)] * (-1)^(n-1) * e^(-(n-1)π)

この級数は、指数関数と交互の符号を持つ項から成り立っています。まずは、この式がどのように展開されるのかを見ていきましょう。

この級数の初項と公比を見ていきます。まず、初項は

a = (1 + e^(-π)) / 2

次に、公比は

r = -e^(-π)

です。この公比は、式において交互に符号が反転する要因になります。

与えられた級数は、無限等比級数の形をしています。無限等比級数の和の公式は次の通りです。

S = a / (1 - r)

ここで、aは初項、rは公比です。この公式を使って、与えられた級数の和を求めます。

初項と公比を公式に代入して計算します。

S = ( (1 + e^(-π)) / 2 ) / ( 1 - (-e^(-π)) )

この計算を実行すると、最終的に求めるべき級数の和が得られます。

与えられた級数の和を求めるためには、初項と公比を正確に求めた後に、無限等比級数の和の公式を適用する必要があります。この方法を使えば、どんな等比級数でもその和を計算することができます。