相互関数の最大値と最小値を求める方法

この問題では、与えられた不等式を元に、相互関数の最大値と最小値を求める方法について解説します。特に、ログ関数と円の幾何学的な関係を活用して、解法を見ていきましょう。

1. 問題の設定と与えられた条件

与えられた不等式（log₂x）² +（log₂y）²≦2log₂x-3/2-2log₂yを基に、まずは相互関数の最大値と最小値を求めます。これを解くために、log₂x = Xおよびlog₂y = Yと置き換え、XとYの範囲を求めます。

式を簡単にすると、(X – 1)² + (Y + 1)² ≦ 1/2 となり、これはX、Y平面上で中心(1,-1)、半径1/√2の円を表します。この円の範囲内で、X + Y = k の最大値と最小値を求める問題となります。

次に、X + Y = k という直線が円と接する点を求めます。この直線の傾きは-1で、円の中心との距離が円の半径に等しくなるように設定します。円の中心と直線との距離を計算し、その距離が円の半径に等しいときのkの値を求めます。

計算の結果、kの最大値は1、最小値は-1となり、これによりX + Y = k の最大値と最小値が求められます。最終的に、log₂x + log₂y = log₂(xy) の最大値は2、最小値は1/2となります。

この問題を通じて、相互関数の最大値と最小値を求める方法を学びました。円と直線の接点を求めることで、解答にたどり着くことができました。この手法は、他の類似問題にも応用できるので、理解を深めていきましょう。