一様収束の証明におけるM’の依存性について解説

この問題では、関数列の一様収束に関する証明の進め方について疑問が示されています。特に、M’がtに依存することが証明において問題になるという点について詳しく解説します。

一様収束とその証明の基本

一様収束とは、関数列(f_n)がある関数gに一様に収束することを指します。つまり、任意のε>0に対して、十分大きなnに対してすべてのx∈[a,b]に対して|f_n(x) – g(x)| < εとなるようなnが存在することです。この概念を証明するためには、Mという自然数がすべてのxに対して共通に存在することを示す必要があります。

証明の進め方とt依存性の問題

質問の証明では、tに依存するM’を用いて、最終的に一様収束を示す方法を採用しています。ここで問題になっているのは、M’がtに依存する点です。証明の進め方としては、まず各点tに対して|f_n(t) – g(t)| < εが成り立つことを示すことを目指しています。

しかし、証明内で示したように、tに依存するM’を用いること自体は、厳密に言えば「一様収束」を示すものではなく、単なる点収束の結果です。そのため、この部分を適切に修正し、tに依存しないように扱う必要があります。

解決方法：MとM’の共通性

この問題を解決するためには、M’がtに依存しないようにする必要があります。具体的には、|f_n(x) – f_M(x)| + |f_M(x) – g(x)| の形式で、Mをtに依存せずに共通に取ることができれば、証明は一様収束を正しく示すことができます。つまり、xごとに異なるM’を設定するのではなく、x全体に対してMを定めて収束を示すことが求められます。

結論と証明の正しいアプローチ

最終的に、この問題を解決するためには、M’がtに依存しないように証明を進める必要があります。そのためには、MとM’を共通に設定するか、別途tに依存しない形で収束の証明を行う方法を採ることが望ましいです。証明の途中でt依存を排除することができれば、一様収束の証明が完了します。

まとめ

この問題における核心は、M’がtに依存している点が証明において問題となる点です。証明を進める際には、tに依存しない形でMを設定することが重要であり、それにより一様収束を正しく示すことができます。