共通の実数解を持つ2つの2次方程式を解く方法

この問題は2つの2次方程式がただ1つの共通解を持つ場合について、定数mの値と共通解を求める問題です。問題では、x=αと置いてから解く方法が示されていますが、その理由を理解することが解法への第一歩です。ここでは、なぜx=αと置く必要があるのか、その理由を説明しながら解いていきます。

問題の概要

問題は次の2つの方程式がただ1つの共通の実数解を持つときのmの値と共通解を求めるものです。

x^2 + (m-4)x - 2 = 0

x^2 - 2x - m = 0

これらの方程式に共通の解がある場合、その解をx=αとおいて解いていきます。

問題文の「共通の実数解」という条件を満たすためには、2つの方程式が同じ解を持つ必要があります。x=αと置くことで、両方の方程式に対してαを代入し、その条件を満たすmの値を求めることができます。

また、2つの方程式の解が一致するための条件を導き出すことで、mの値が決まります。この方法を用いることで、より簡単に解を求めることができます。

まず、x=αと置いた場合、両方の方程式にαを代入して、mの値を求めます。

1つ目の方程式にαを代入すると、次のようになります。

α^2 + (m-4)α - 2 = 0

次に、2つ目の方程式にαを代入すると。

α^2 - 2α - m = 0

この2つの方程式を同時に解くことで、mの値が求まります。

両方の方程式を解くと、mの値が決まり、同時に共通解αも求まります。計算過程を詳しく解説することで、理解を深めることができます。

この問題では、共通の解を求めるためにx=αとおいて解く方法を使用しました。αを共通解とすることで、2つの方程式の関係を明確にし、mの値を求めることができました。こうしたアプローチは、他の類似の問題を解く際にも役立ちます。