量子力学の調和振動子のエネルギーを運動方程式から解く方法

量子力学における調和振動子は、物理学で非常に重要なモデルの一つです。本記事では、調和振動子の運動方程式を解くことでそのエネルギーを求める方法について詳しく解説します。具体的には、運動方程式 d^2x/dt^2 = -ω^2x を解き、エネルギーを導出します。

1. 調和振動子の運動方程式の理解

調和振動子は、位置xと時間tに依存する運動をします。その運動は、位置xに比例した復元力が働くことから、次の運動方程式で記述されます。

d^2x/dt^2 = -ω^2x。ここで、ωは角周波数であり、調和振動子の振動の速さを示します。この方程式を解くことで、振動の動きやエネルギーを求めることができます。

この運動方程式は二階常微分方程式であり、次の形に一般的な解を求めることができます。

まず、方程式を解くために、次のように仮定します。

x(t) = A cos(ωt + φ)、ここで、Aは振幅、φは位相定数です。これを運動方程式に代入すると、次のようになります。

-Aω^2 cos(ωt + φ) = -ω^2A cos(ωt + φ)、これにより、仮定した解が運動方程式を満たすことが確認できます。

調和振動子のエネルギーは、位置エネルギーと運動エネルギーの和として表されます。運動エネルギーは次のように求められます。

K.E. = (1/2)m(v)^2 = (1/2)m(ωA)^2 sin^2(ωt + φ)。

位置エネルギーは、次のように求められます。

P.E. = (1/2)k(x)^2 = (1/2)mω^2A^2 cos^2(ωt + φ)。

調和振動子の総エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの合計であり、時間によらず一定です。

E = K.E. + P.E. = (1/2)m(ωA)^2。

したがって、調和振動子のエネルギーは、振幅Aと角周波数ωに依存しており、位置や時間に関係なく一定であることがわかります。

調和振動子の運動方程式を解くことで、エネルギーを求めることができました。エネルギーは振幅と角周波数に依存し、時間的に一定であることが確認できました。これにより、調和振動子の性質について深い理解が得られます。