円と接線の方程式 - 接点から接線の方程式を求める方法

この問題は、点(1, 3)から円 x² + y² = 5 に引いた接線の方程式を求めるというものです。多くの学生がこの問題に取り組む際に、接点を (a, √5 – a²) と置き、その後の計算に進みますが、この方法がなぜ不適切なのかを解説します。

問題の理解と接線の方程式

まず、円 x² + y² = 5 の接線の方程式を求めるためには、接点の座標を求め、それを使って接線の方程式を導きます。しかし、接点を (a, √5 – a²) と置き、その後で接線の方程式からその接点を代入する方法は正確ではありません。

接点は確かに (a, √5 – a²) という形に表されますが、これを使って接線の方程式に代入し、aの値を求めることは誤りです。この方法を採用してしまうと、正しい接線の方程式が導けません。

接線の方程式を求める正しい手順は、まず円の方程式 x² + y² = 5 を使って、接点の座標を求めます。接点が求まったら、その座標を使って接線の方程式を導出することができます。

接線の方程式は、接点の座標 (x₁, y₁) を使って次のように表されます。

x₁x + y₁y = 5

これを使って接点 (1, 3) を通る接線の方程式を求めることができます。

接点を (a, √5 – a²) と仮定した場合、接線の方程式を導出する方法で問題が生じます。この手法では接点の座標を代入する段階で誤りが生じ、正しい解が得られません。

正しい方法では、接線の方程式を求める際に接点の座標を元に計算を進める必要がありますが、 (a, √5 – a²) を代入してしまうと、円の接線を正確に求めることができません。

この問題を解くには、接点の座標をきちんと求め、その上で接線の方程式を導出する必要があります。接点を (a, √5 – a²) として計算を進める方法は誤りであるため、別の方法を採用することが重要です。円の接線の方程式を求める際は、問題文に従い、正しい手順を踏んで解くようにしましょう。