この記事では、正四面体 OABC におけるベクトルの計算問題に関して解説します。特に、問題の(2)について、なぜaの係数が0になるのか、その理由を詳しく説明します。
問題の概要
問題は、正四面体 OABC のベクトルを用いた問題で、点 D, E, M などの位置をベクトルで表し、点 P の位置を求める問題です。特に、点 P が平面 OBC 上にある場合の定数 k の求め方に焦点を当てます。
ベクトルの基本的な取り扱い
まず、ベクトルの基礎として、ベクトルの和やスカラー倍について理解しておくことが大切です。ベクトルは物理的な位置を表現するだけでなく、様々な幾何学的な関係を示すためのツールとして使います。問題を解く上での基本的な計算方法は、ベクトルの和や差、スカラー倍などを適切に用いることです。
（1）点 D, E, M のベクトル
問題の(1)では、点 D は辺 AB を 3:1 に内分する点、点 E は辺 OC を 1:3 に内分する点、点 M は線分 DE の中点であると指定されています。これらの条件を使って、それぞれのベクトルを計算します。
点 D のベクトルは、辺 AB を 3:1 に内分するので、OD = (1/4) a + (3/4) b となります。点 E のベクトルは、辺 OC を 1:3 に内分するので、OE = (1/4) c です。点 M のベクトルは、DE の中点なので、OM = (1/2) OD + (1/2) OE = (1/8) a + (3/8) b + (1/8) c となります。
（2）点 P の位置
次に、点 P が AP = kAM を満たすときのベクトル OP を求めます。この関係を式にすると、OP − OA = k(OM − OA) となり、OP は (1 − k) OA + k OM で表されます。
具体的に計算すると、OP = (1 − k) a + k((1/8) a + (3/8) b + (1/8) c) となります。これを展開すると、OP = (1 − 7/8 k) a + (3/8 k) b + (1/8 k) c となります。
点 P が平面 OBC 上にある理由
点 P が平面 OBC 上にあるとき、a の係数が 0 である必要があります。この条件を式に代入すると、1 − 7/8 k = 0 となります。したがって、k = 8/7 となります。
このように、k の値が求められるとともに、点 P が平面 OBC 上に位置することが確認できました。
まとめ
この問題を解く上で重要なのは、ベクトルを使って幾何学的な位置関係を正確に表現することです。特に、点 P が平面 OBC 上にあるという条件から、a の係数が 0 になる理由を理解することができます。このようなベクトル計算を繰り返すことで、より高度なベクトル問題にも対応できるようになります。
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