3項間漸化式の進化版：dが含まれる場合の解き方と特性方程式の作成方法

高3理系の学生が苦手な分野である確率や漸化式。特に、3項間漸化式の進化版に対するアプローチに困っている方も多いでしょう。この記事では、3項間漸化式とその進化版（dが含まれる場合）の解き方について、具体的に説明し、特性方程式の作成方法を解説します。

3項間漸化式の基本

まず、3項間漸化式の基本形を復習しましょう。以下の式がその代表的な例です。

pA[n+2] + qA[n+1] + rA[n] = 0

これは、次の項が前の2つの項に基づいて決まる線形の漸化式です。基本的な解法は、この式を満たす特性方程式を作成し、その解を求めることにあります。特性方程式は、以下のように一般的に設定します。

pλ² + qλ + r = 0

ここで、λは漸化式の解です。

次に、質問で挙げられた進化版の式を見てみましょう。

pA[n+2] + qA[n+1] + rA[n] + d = 0

ここでは、定数dが加わっています。この式を解くためには、まずdを別の項として扱い、基本的な漸化式の形式に変換することが重要です。dが含まれているため、特性方程式をそのまま使うことはできませんが、定数項を除いてまずは次の形式にします。

pA[n+2] + qA[n+1] + rA[n] = -d

次に、この式に対して同じように特性方程式を作成します。特性方程式は、

pλ² + qλ + r = 0

であり、これは変わりません。

dが含まれる進化版の式では、特性方程式自体は基本形と同じですが、解く際の取り扱いに注意が必要です。dを含んだ式では、一般的に以下の手順を踏みます。

1. 漸化式を整理して、dを右辺に移す。
2. 特性方程式を立てて、一般解を求める。
3. 初期条件を使って定数を求める。
4. dを考慮した解を最終的に求める。

これにより、進化版の3項間漸化式も解くことができます。

実際の問題を解くためには、まず初期条件が必要になります。例えば、A[0]やA[1]が与えられている場合、これを使って定数を求めます。具体的な数値を使った問題では、これらのステップを順番に実行し、特性方程式に代入していくことになります。

例えば、次のような問題を考えます。

pA[n+2] + qA[n+1] + rA[n] + d = 0

ここで、p=1, q=-3, r=2, d=4とすると、まず特性方程式を立てて解を求め、その後、初期条件を使って解を補完することになります。

3項間漸化式の進化版、特にdが加わるケースでは、特性方程式を立てる基本的な考え方は変わりませんが、定数項dの取り扱いに注意が必要です。漸化式の解法においては、まず定数項を整理し、その後特性方程式を使って解を求める方法が一般的です。これを理解することで、進化版の問題もスムーズに解けるようになります。