tanの加法定理の証明過程とその理由についての解説

tanの加法定理は、三角関数の基礎的な公式で、二つの角度の和に対するtanの値を求める方法です。この定理を使うと、tan(a + b)の値を簡単に求めることができます。しかし、証明の途中でなぜcosの値で割るのか、sinの値で割ってはいけないのかがわからないという疑問が生じることがあります。この記事では、その理由について詳しく解説します。

tanの加法定理の基本形

まず、tan(a + b)の加法定理は以下のように表されます。

tan(a + b) = (sin a cos b + cos a sin b) / (cos a cos b – sin a sin b)

この公式は、三角関数の加法定理を使って求められる結果です。しかし、なぜ分母と分子にcos a cos bで割るのかという点に関して、理解を深める必要があります。

分母分子をcos a cos bで割る理由

証明の過程で、分母分子をcos a cos bで割る理由は、最終的にtanの形に持ち込むためです。tanは、sinとcosの比で表されるため、分母分子をcos a cos bで割ることで、最終的にtan(a + b)を求めることができます。

もし、sin a cos bで割ってしまうと、tanの式が予想される形に変換できず、代わりに別の式が出てしまいます。これが、tan(a + b)の公式の成立を保証するためにcos a cos bで割る理由です。

tan(a + b)を(1 + tan a tan b) / (tan a – tan b)に変形する場合

仮にsin a cos bで割った場合、確かにtan(a + b)は(1 + tan a tan b) / (tan a – tan b)という式になりますが、この式は直接的なtanの加法定理ではありません。元の式から求められるのは、あくまでtan(a + b) = (sin a cos b + cos a sin b) / (cos a cos b – sin a sin b)の形です。

したがって、tan(a + b)の加法定理を用いた計算では、分母分子をcos a cos bで割る方法が最も適切であると言えます。

まとめ

tanの加法定理は、三角関数の加法定理に基づいた公式であり、分母分子をcos a cos bで割ることで、最終的にtan(a + b)を求める形になります。これにより、式が簡潔で予測可能な形にまとまります。sin a cos bで割ると別の式に変わるため、tanの加法定理を正しく適用するためには、cos a cos bで割ることが重要です。