2変数の極値問題の解法：f(x, y) = x² - 2xy + y² - x⁴ - y⁴の極値を求める方法

2変数の極値問題では、与えられた関数の極大値や極小値を求めるために、偏微分を使用して解くことが一般的です。この記事では、関数f(x, y) = x² – 2xy + y² – x⁴ – y⁴の極値を求める方法について詳しく解説します。

1. 極値問題を解くための基本的な手順

2変数の関数の極値を求めるには、まずその関数の偏微分を求め、各偏微分がゼロとなる点を探します。次に、その点が極大値か極小値かを判定するために、ヘッセ行列（2階偏微分）を使います。

関数f(x, y) = x² – 2xy + y² – x⁴ – y⁴に対して、xおよびyに関する偏微分を求めます。まず、xについての偏微分を求めます。

∂f/∂x = 2x – 2y – 4x³

次に、yについての偏微分を求めます。

∂f/∂y = -2x + 2y – 4y³

次に、∂f/∂x = 0および∂f/∂y = 0となる点を求めます。これにより、極値が存在する可能性のある候補点を見つけます。

∂f/∂x = 0は、2x – 2y – 4x³ = 0となり、∂f/∂y = 0は、-2x + 2y – 4y³ = 0となります。この2つの式を連立させて、xおよびyの値を求めます。

次に、ヘッセ行列を使って、その点が極大値か極小値かを判定します。ヘッセ行列Hは、関数の2階偏微分から構成されます。

H = [[∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y], [∂²f/∂y∂x, ∂²f/∂y²]]

これらの2階偏微分を求めると。

∂²f/∂x² = 2 – 12x²

∂²f/∂y² = 2 – 12y²

∂²f/∂x∂y = -2

ヘッセ行列を使って、得られた解が極大値なのか極小値なのかを判断します。具体的な値を代入して、解の性質を判定し、最終的な極値を求めます。

このようにして、与えられた2変数関数の極値を求めることができます。

2変数の極値問題は、偏微分を利用して解くことができ、得られた解が極大値か極小値かをヘッセ行列で判定することが基本的な手順です。この記事で説明した手順を踏んで、関数f(x, y) = x² – 2xy + y² – x⁴ – y⁴の極値を求める方法を理解できるようになります。