高校生の皆さん、今回は指数方程式の変形過程について解説します。問題の式を段階的にどのように解くか、具体的な手順をわかりやすく説明します。質問にあった式変形を順を追って見ていきましょう。
最初の式
最初に与えられた式は次の通りです。
2^x + 2^(-x) = 5/2
この式は指数法則に基づいていますが、まずはこの式を扱いやすくするために変形する必要があります。
変形の手順
まず、式2^x + 2^(-x) = 5/2を簡単に見ると、指数の符号が逆の項があることがわかります。この式は、xの変数の値を求めるために工夫を凝らす必要があります。これを解くために、次のステップを踏んでみましょう。
1. まず、2^xをyとおきます。
2. 次に、2^(-x)を1/yとして表現できます。
このようにすると、式は以下のようになります。
y + 1/y = 5/2
ここで、この式を解くために、両辺にyを掛け算し、次の二次方程式を得ます。
y² + 1 = (5/2)y
3. これを整理すると、最終的に次の式が得られます。
2y² – 5y + 2 = 0
二次方程式の解法
次に、この二次方程式2y² – 5y + 2 = 0を解きます。二次方程式は解の公式を使って解くことができます。解の公式は次の通りです。
y = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a = 2、b = -5、c = 2です。これらを代入して解くと。
y = (5 ± √((-5)² – 4(2)(2))) / (2(2))
y = (5 ± √(25 – 16)) / 4
y = (5 ± √9) / 4
y = (5 ± 3) / 4
したがって、yは次の2つの解を持ちます。
y = 2 または y = 1/2
最終的な解の求め方
y = 2またはy = 1/2を得たので、最初に設定したy = 2^xに戻して解を求めます。
1. y = 2の場合、2^x = 2なので、x = 1。
2. y = 1/2の場合、2^x = 1/2なので、x = -1。
したがって、この方程式の解はx = 1またはx = -1です。
類似問題の作成
類似問題として、次のような問題を考えてみましょう。
問題：次の式を解きなさい。
2^x + 2^(-x) = 3
この式も、先ほどの方法と同様に、y = 2^xと置き換えて二次方程式に変形し、解を求めることができます。
まとめ
指数方程式の解法では、式を工夫して変形し、二次方程式に持ち込むことが重要です。今回の問題では、指数の符号が逆の項があったため、y = 2^xと置き換えることで簡単に解けました。類似問題を解く際も、このアプローチを応用することができます。
コメント