三角関数の問題では、特にsinθやcosθの値を求める問題がよく出題されます。今回は、与えられた条件から三角関数の値を求める方法を詳しく解説します。具体的な問題を例に、どのようにして解答にたどり着くかを理解しましょう。
問題の概要
問題は、「θの動径が第1象限にあり、sinθcosθ＝1/4のとき、次の式の値を求めよ」とのことです。具体的には、(1) sinθ + cosθ、(2) sinθ – cosθ、(3) sinθ, cosθの値を求める問題です。
また、(2)で解が±√2/2になる理由、(3)でsinθとcosθの値がどうやって求められるかも説明します。
(1) sinθ + cosθ の解法
sinθ + cosθを求めるには、まず、sin²θ + cos²θ = 1 という基本的な三角関数の恒等式を使います。与えられた条件から、sinθcosθ = 1/4なので、(sinθ + cosθ)² = sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ に代入できます。
式は次のように展開されます。
(sinθ + cosθ)² = 1 + 2(1/4) = 1 + 1/2 = 3/2
したがって、sinθ + cosθ = √(3/2) = √6/2 となります。
(2) sinθ – cosθ の解法
次に、sinθ – cosθを求めます。この問題の解が±√2/2になる理由は、(sinθ – cosθ)²も同様に展開できるからです。
(sinθ – cosθ)² = sin²θ + cos²θ – 2sinθcosθ
ここで、sin²θ + cos²θ = 1 と、sinθcosθ = 1/4 を代入します。
(sinθ – cosθ)² = 1 – 2(1/4) = 1 – 1/2 = 1/2
したがって、sinθ – cosθ = ±√(1/2) = ±√2/2 となります。
(3) sinθ と cosθ の解法
最後に、sinθとcosθのそれぞれの値を求めます。sinθ + cosθ = √6/2 および sinθ – cosθ = ±√2/2 が得られているので、これらの式を連立させて解きます。
1つ目の式と2つ目の式を足すと。
2sinθ = (√6/2) + (√2/2) = (√6 + √2) / 2
したがって、sinθ = (√6 + √2) / 4 となります。
次に、1つ目の式から2つ目の式を引くと。
2cosθ = (√6/2) – (±√2/2) = (√6 – √2) / 2 または (√6 + √2) / 2
したがって、cosθ = (√6 – √2) / 4 または cosθ = (√6 + √2) / 4 となります。
まとめ
この問題では、三角関数の基本的な恒等式と与えられた条件をうまく活用して、sinθおよびcosθの値を求めました。(2)で±√2/2になる理由は、平方根を取る際にプラスとマイナスの両方の解が存在するからです。最後に、連立方程式を解くことで、sinθとcosθの具体的な値が求められました。
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