数学の問題で「x^2 + y^2 = 2を満たすとき、x + 2yの最大値と最小値を求めなさい」というものがあります。この問題を解くためには、まず問題の意味を正しく理解することが重要です。今回は、具体的な解法をステップごとに解説し、なぜ判別式を使うのか、またなぜ三元一次方程式にならないのかについても詳しく説明します。
1. 問題の整理と式の設定
与えられた式x^2 + y^2 = 2は、平面上で半径√2の円を描いています。その上で、x + 2yの最大値と最小値を求めるという問題です。このような問題は、制約条件を満たしながら最適な値を求める問題としてよく出題されます。
最初に考えるべきは、「x + 2y = t」とおいて、tを最大化または最小化するという方法です。ここでtはxとyに関する新しい関数であり、制約条件に基づいてその最大・最小を求めます。
2. 判別式を使う理由とその仕組み
判別式を使う理由は、二次方程式の解を求めるためです。特に、x^2 + y^2 = 2という式において、x + 2yの最大・最小を求める際には、判別式を使って解の有無を確かめ、解を求めることができます。
判別式は、一般的にax^2 + bx + c = 0の形の二次方程式において、解が存在するかどうかを判断するために使います。ここでは、xとyの関係を扱っているため、判別式を使用して問題を解くことが可能です。
3. なぜ三元一次方程式にならないのか
ここで疑問が生じます。なぜ「x + 2y = t」とおいた時に、三元一次方程式にならないのか？実は、tを新しい変数として設定した場合、問題はxとyの二つの変数に対して制約を加える形になります。tは新たに定義した変数であり、xやyと合わせて三元方程式にはならず、tについて最適化問題を解く形になります。
x + 2y = tという式で、tを最大化または最小化する問題を解くと、xとyの値が決まり、tの値も決定されます。これがこの問題の解法のポイントです。
4. 実際の解法：最大値と最小値を求める
次に実際に解法を進めていきます。x^2 + y^2 = 2の上でx + 2yを最大化または最小化するために、x + 2y = tという式を使い、解析的に解を求めます。
1. x + 2y = t とおいて、yをxについて表現し、tをxの関数として書きます。
2. 制約条件を考慮して、xの範囲を特定します。
3. tの値を最大化・最小化するxの値を求め、対応するyの値を代入して、最終的なtの最大値と最小値を算出します。
5. まとめと結論
この問題を解くためには、まずx + 2y = tという新しい変数を設定し、その後に判別式を使って解の存在を確認します。最終的にxとyの値を求め、tの最大値と最小値を得ることができます。
三元一次方程式にならない理由は、tという新しい変数を導入することで、xとyに対する最適化問題に変換できるからです。これにより、この問題は二次方程式として解析的に解くことが可能になります。
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