「∫1/sin x dx」の不定積分を求めた際に、結果が1/2 log((1 − cos x) / (1 + cos x))となります。この際、真数に絶対値を付けるべきかどうか、またその理由について解説します。
積分の結果と絶対値の扱い
まず、積分 ∫1/sin x dx の結果として得られる式は、1/2 log((1 − cos x) / (1 + cos x)) です。この式の真数に絶対値を付けない理由について、理解を深める必要があります。
不定積分を求める際、通常、対数関数の真数には絶対値をつけることが求められることがあります。これは、対数関数の定義域を正に保つためです。しかし、ここで絶対値をつけない理由を見ていきましょう。
sin xが0になる点を避ける
質問者が指摘しているように、積分の範囲ではsin xが0になる点を避けることが重要です。sin xが0になるxの値は、x = nπ（nは整数）です。このような点では、分母のsin xが0となり、積分が定義できなくなります。そのため、積分の範囲ではsin xが0になるようなxは含まれないと仮定されています。
これにより、cos xは必ず -1 < cos x < 1 の範囲にあり、(1 − cos x) / (1 + cos x) は常に正であるため、絶対値をつける必要はありません。
絶対値をつけるべきケース
もしsin xが0に近づくような点（例えば、x = nπ）を積分範囲に含めてしまうと、分母が0になるため、式が無限大になる可能性があります。このような場合には、真数に絶対値をつけることが必要です。しかし、ここでの問題では、積分範囲がそのような点を含まないことを前提としているため、絶対値を付けない形で積分結果を求めることができます。
簡略化について
質問者が提案するように、「log(√((1 − cos x) / (1 + cos x)))」という形に簡略化してもよいかという点についてですが、対数の性質を使うと、この形も同じ結果を表します。しかし、最も標準的な表現は、元の形「1/2 log((1 − cos x) / (1 + cos x))」のままであり、この形が一般的に使用されます。
まとめ
∫1/sin x dx の不定積分の結果、1/2 log((1 − cos x) / (1 + cos x)) となりますが、この場合、真数に絶対値をつけない理由は、積分範囲がsin x = 0を避けるためです。したがって、cos xの値が-1と1の間であり、対数の真数が常に正であるため、絶対値は不要です。また、簡略化としてlog(√((1 − cos x) / (1 + cos x)))にすることもできますが、標準的な表現としては、元の形が適切です。
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