確率変数の変換と期待値・標準偏差の計算方法

確率変数の変換を行う際、期待値や分散、標準偏差をどのように扱うかが重要です。この記事では、確率変数Xの期待値と分散から、変換後の確率変数Yの期待値と標準偏差を求める方法について解説します。

確率変数の変換とは？

確率変数の変換は、元の確率変数Xを線形変換して新しい確率変数Yを定める操作です。例えば、Y = aX + bのように、aとbという定数を使ってXを変換します。このとき、Yの期待値や標準偏差を計算するための公式があります。

Yの期待値は、元の確率変数Xの期待値にaを掛けたものにbを加えたものです。また、Yの標準偏差は、Xの標準偏差にaを掛けたものとなります。

与えられた情報は、確率変数Xの期待値が540、分散が8100というものです。また、Y = aX + bという変換式が与えられています。問題は、この変換後の確率変数Yの期待値が50、標準偏差が10となるようにaとbを求めることです。

まず、Yの期待値は、E(Y) = aE(X) + bという式を使います。これにより、aとbを求めるための方程式を立てることができます。

期待値に関する公式は次の通りです。

分散に関しては、標準偏差は分散の平方根であるため、標準偏差の計算には次の式を使用します。

これらの式を使って、Yの期待値と標準偏差を50と10に設定することで、aとbを求める方程式を解くことができます。

与えられた条件をもとに計算を行います。

1. まず、Yの期待値を使ってaとbを求めます。

E(Y) = aE(X) + b となるので、50 = a(540) + b という式が得られます。

2. 次に、標準偏差を使ってaを求めます。

σ(Y) = |a|σ(X) となるので、10 = |a|(8100)^(1/2) という式が得られます。これを解くとaの値がわかります。

これらの計算を解くことで、aとbの値を求めることができます。

質問者が試みたY = (X – μ) / σという式は、確率変数Xを標準化するための式です。標準化は、確率変数Xの平均を0、標準偏差を1にするための方法ですが、今回の問題では単なる変換式Y = aX + bに関する計算です。

この式は、標準化とは異なり、元の分布を保持しつつ、期待値や標準偏差の変換に関する計算を行っています。したがって、Y = (X – μ) / σは、今回の問題には適用できません。

確率変数の変換に関しては、期待値と標準偏差の変換公式を正しく理解することが重要です。Y = aX + bという形の変換式を使って、期待値や標準偏差の変化を求めることができます。標準化の方法は別の用途に使うため、今回のような問題では適用しないことに注意しましょう。

計算を通じて、確率変数の変換を理解し、問題解決の力をつけていきましょう！