「a＜bを満たす自然数の組みa,bの和が119、最小公倍数が462である時のaとbを求めよ。」という問題に関する解法を詳しく解説します。和と最小公倍数という2つの条件を使って、どのようにしてaとbの値を導くかを見ていきましょう。
問題の理解
この問題では、aとbという2つの自然数が与えられ、次の2つの条件を満たさなければなりません。
- a < b
- a + b = 119
- 最小公倍数（LCM）(a, b) = 462
最小公倍数と和が与えられているので、aとbの関係を式で表すことで、aとbの具体的な値を求めることができます。
最小公倍数と和の関係
最初に、aとbの和が119であることから、a = 119 – bという式を得ます。次に、最小公倍数（LCM）について考えます。aとbの最小公倍数は462です。ここから、aとbがどのような素因数分解を持つかを調べ、条件を満たす値を導きます。
LCM(a, b)が462であるため、462の素因数分解を行います。462は、462 = 2 × 3 × 7 × 11であり、この情報をもとにaとbの組み合わせを考えます。
aとbの値の候補を絞り込む
次に、aとbの最小公倍数が462になるような自然数の組み合わせを調べます。aとbは、462の素因数2、3、7、11を適切に分け合う必要があります。a < bの条件を満たしながら、この条件に適合する値を選ぶことが必要です。
例えば、a = 33, b = 86という組み合わせは、a + b = 119を満たし、LCM(33, 86) = 462も満たします。このように、条件に合ったaとbを見つけることができます。
解答の導出
したがって、条件を満たすaとbは次の通りです。
- a = 33
- b = 86
これにより、a + b = 119、およびLCM(33, 86) = 462という条件を満たすことが確認できます。
まとめ
この問題では、和と最小公倍数の条件を使ってaとbを求めました。まず、aとbの和を利用して一方の値を式に表し、次に最小公倍数を基に因数分解を行って候補を絞り込みました。最終的に、a = 33、b = 86という組み合わせが条件を満たす解答となりました。
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