二項定理と確率変数の期待値・確率を求める方法

確率論でよく登場する「二項定理」を使った問題について、今回は二枚の硬貨を同時に投げる試行をn回繰り返す場合の確率と期待値を求める方法を解説します。特に、Z = X₁・X₂・・・・・Xn のような確率変数の変換をどのように計算するかに焦点を当てます。

二項定理とは？基本的な理解

二項定理は、(a + b)ⁿ の展開を簡単に求めるための公式です。具体的には、(a + b)ⁿ を展開すると、n回の試行で出る結果をすべて列挙した形になります。これを使うことで、確率分布を簡単に扱うことができます。

二項定理の公式は次のように表されます。

(a + b)ⁿ = Σ(nCm) * a^(n-m) * b^m

ここで、nCmはn回の試行からm回の成功を選ぶ組み合わせ数を示し、a^(n-m)は失敗の確率、b^mは成功の確率を示します。

問題設定として、二枚の硬貨を同時に投げる試行をn回繰り返し、k回目に表が出た枚数をXk、確率変数ZをZ = X₁・X₂・・・・・Xnで定義します。最初に、Z = 2^mとなる確率を求めることから始めましょう。

ここでmは表が出た回数を示します。表が2枚出る場合がm回、表が1枚出る場合がn-m回となり、その確率は次のように求められます。

確率 = nCm * (1/2)^(n) という形になります。

次に、Zの期待値E(Z)を求めるために、確率変数に確率をかけたその和を計算します。期待値の計算は次のようになります。

E(Z) = Σ (2^m) * P(Z = 2^m)

ここで、P(Z = 2^m)は先ほど求めた確率です。

質問者が疑問に思っている「なぜ(1+1)ⁿが使えるのか」という点について説明します。実際に、(1+1)ⁿの展開は、表が出た回数がm回の確率を計算するのに非常に役立ちます。

二項定理を使うことで、n回の試行における表の出る回数がm回である確率を、次のように簡単に表すことができます。

(1+1)ⁿ = Σ(nCm) * 1^(n-m) * 1^m

この式において、1^mはすべての表が出た場合の確率を示しています。したがって、この展開を使うことで、確率変数Zに関する計算が容易に行えるのです。

二項定理を活用することで、確率変数の変換に関する問題も効率よく解くことができます。Z = X₁・X₂・・・・・Xnのような確率変数の期待値や確率を求めるためには、確率を計算するための式を適切に導き出し、二項定理を使ってその計算を簡単にすることが重要です。

これらのステップを理解し、実際の問題に取り組むことで、確率論の基本的な考え方がより明確になり、問題解決力を高めることができます。