問題：x^3 + ax + b を (x-1)^2 で割った余りが 2x+3 のとき、定数a, bの値を求める方法

与えられた多項式問題で、x^3 + ax + b を (x-1)^2 で割った余りが 2x+3 となるとき、定数aとbの値を求める方法について解説します。この問題では、余りの定義と多項式の割り算を利用して、aとbを求めます。

問題の理解

問題は「x^3 + ax + b を (x-1)^2 で割った余りが 2x+3 である」とあります。つまり、x^3 + ax + b を (x-1)^2 で割った結果、商と余りの関係を使ってaとbを求める問題です。

余りが 2x+3 であるということは、(x-1)^2 で割った結果、余りの部分が 2x+3 になるという意味です。したがって、この余りを用いてaとbを求めます。

まず、多項式の割り算の基本的な方法を考えます。商と余りの関係は以下のように表せます。

x^3 + ax + b = (x – 1)^2 × 商 + 余り

ここで、商は(x – 1)^2 で割った商であり、余りは2x + 3です。余りの部分を使って、x = 1を代入してaとbを求めます。

x = 1を代入して余りの式を使って、aとbを求めます。

まず、x = 1を代入してx^3 + ax + bの式を計算します。

1^3 + a(1) + b = 2(1) + 3

1 + a + b = 5

a + b = 4

次に、x = 1を代入して商の部分からも式を得ます。商の部分は(x-1)^2なので、x = 1を代入すると0になります。よって、式はa + b = 4から解けます。

a + b = 4という式を得ましたが、この式を解くためにはもう一つの式が必要です。それが、x^3 + ax + bの導関数です。ここでは導関数を使って解いていきます。

導関数を求めると、aとbの値が定まります。解法の手順はこういった多項式の割り算と余りの定理を用いて、最終的にa = 1, b = 3と求めることができます。

この問題では、多項式の割り算と余りの定理を利用して、定数aとbを求める方法を学びました。商と余りの関係を理解し、x = 1を代入して方程式を解くことで、aとbの値が求まります。この方法を使うことで、類似の問題も解けるようになります。