16a^2－25b^2＋9c^2－24acの因数分解：正しいアプローチと解説

因数分解の問題で、式「16a^2－25b^2＋9c^2－24ac」を「(3c－4a)^2＋(5b)^2」と因数分解しようとした場合、解答と異なる結果になることがあります。今回は、その原因を解説し、どのように正しく因数分解するかをステップごとに説明します。

問題の式と因数分解の基本

問題で与えられた式は「16a^2－25b^2＋9c^2－24ac」です。この式を因数分解するためには、まず各項の形をよく観察し、平方完成や差の平方などを活用します。

「(3c－4a)^2＋(5b)^2」とした解法では、正しい因数分解の方法に従っていません。まずは、この式を正しく因数分解するためのステップを踏みましょう。

因数分解の正しいアプローチ

まず、「16a^2－25b^2＋9c^2－24ac」の式は、2つの平方の差を使った因数分解が有効です。この式を整理してみると、次のようになります。

(4a)^2 + (3c)^2 - 2 × 4a × 3c + (5b)^2

この式は「(4a – 3c)^2 – (5b)^2」という形になります。この形は、「a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)」という差の平方の公式に従って因数分解できます。

因数分解の手順

式「(4a – 3c)^2 – (5b)^2」を差の平方の公式を使って因数分解すると、次のように分解できます。

(4a - 3c + 5b)(4a - 3c - 5b)

これが正しい因数分解です。このように、最初の式は「(4a – 3c + 5b)(4a – 3c – 5b)」として因数分解できます。

誤った因数分解の理由

質問者が行った「(3c－4a＋5b)(3c－4a－5b)」という因数分解は、計算ミスによるものです。分母と分子の項が逆になっているため、正しい因数分解結果とは異なります。このような誤りは、平方の差や因数分解の法則を適切に適用することで防げます。

まとめ

「16a^2－25b^2＋9c^2－24ac」の正しい因数分解方法は、差の平方の公式を利用して「(4a – 3c + 5b)(4a – 3c – 5b)」という形になります。質問者が行った解法では、項の順番が間違っていたために、解答が異なってしまいました。因数分解を行う際は、公式に従い、項を正確に整理することが重要です。