数学の問題解説：f(x) = x^2 - ax + a + 2 の最小値と最大値を求める

この問題では、関数 f(x) = x^2 – ax + a + 2 の範囲 -2 ≤ x ≤ 3 における最小値と最大値を求める問題です。さらに、m（最小値）が最大となるときの実数と、そのときの m と M の値も求める必要があります。以下で、解法をステップごとに解説します。

問題の整理

関数 f(x) = x^2 – ax + a + 2 は二次関数であり、x の範囲が -2 ≤ x ≤ 3 に指定されています。この範囲で最小値 m と最大値 M を求めるためには、関数のグラフの形状と頂点の位置を理解することが重要です。

二次関数の頂点の x 座標は、-b / 2a という式で求められます。今回の関数 f(x) = x^2 – ax + a + 2 の場合、a = 1 で b = -a ですから、頂点の x 座標は以下のように求められます。

頂点の x 座標 = -(-a) / 2(1) = a / 2

範囲が -2 ≤ x ≤ 3 なので、最小値と最大値を求めるために、まず x = -2 および x = 3 における f(x) の値を計算します。

最小値 m が最大となる時、x = a / 2 の位置が範囲内で最小値にあたります。そのため、a の値が範囲 -2 ≤ x ≤ 3 の中にあるかどうかを確認する必要があります。

x = a / 2 が範囲内にあるためには、-2 ≤ a / 2 ≤ 3 という条件を満たさなければなりません。この式を解くと、-4 ≤ a ≤ 6 となります。

関数 f(x) の最小値 m と最大値 M を求めるためには、まず頂点の位置を求め、次に範囲内での値を計算する必要があります。m が最大となるための条件や、そのときの m と M の値を求めるためには、x の範囲と関数の式を十分に理解し、計算することが大切です。