1+iが素元であることを示す方法とZ√-3の素元についての解説

今回は、複素数の環における素元についての問題を解説します。特に、1 + i が素元であることを示す方法を説明し、Z√-3 の場合に関する誤解についても触れます。

1. 1+i が素元であることの証明

まず、1 + i が素元であることを示すために、Z[i] の元について理解を深めることが必要です。Z[i] はガウス整数環と呼ばれ、整数係数の複素数で構成されます。この環において素元の定義は、ゼロでない元で他の元の積として分解できない元のことを指します。

1 + i が素元であることを示すために、1 + i が他の元の積に分解されないことを証明します。もし 1 + i が素元でなければ、他の元 a + bi と c + di の積として表されるはずです。しかし、1 + i のノルムは 2 であり、もし 1 + i を分解できるならば、その分解元もノルムが 2 である必要があります。1 + i のみがノルムが 2 の元であり、これが他の元の積として表せる場合は存在しないため、1 + i は素元です。

2. 1+√-3 が素元でない理由

次に、Z√-3 における 1 + √-3 が素元でない理由について解説します。1 + √-3 は Z√-3 環の元ですが、Z[i] と異なり、1 + √-3 はそのまま素元ではありません。

その理由は、1 + √-3 が他の元の積に分解できることにあります。例えば、1 + √-3 は (2 + √-3)(2 – √-3) に分解されることができます。このように、1 + √-3 は分解可能なため、素元ではありません。

3. 1+i と 1+√-3 の違い

1 + i と 1 + √-3 の違いは、元の環が異なることから来ています。1 + i はガウス整数環 Z[i] の元であり、この環においては 1 + i が素元であることが確立していますが、1 + √-3 は Z√-3 環における元であり、この環においては分解可能であるため素元ではないのです。

4. まとめ

この問題では、1 + i が素元である理由を証明し、1 + √-3 が素元でない理由についても解説しました。ガウス整数環 Z[i] と Z√-3 環の違いを理解することで、素元の概念をより深く理解できるようになります。