大学数学: イデアルの問題についての解説（Z[√−5] の場合）

今回は大学数学で出題されるイデアルに関する問題を解説します。この問題では、Z[√−5] の環の中で定義されたイデアルIに関する性質を調べます。具体的には、Iが単項イデアルでないことを証明し、さらにI^2が単項イデアルであることを示す問題です。これらの問題を通して、イデアルの理解を深めましょう。

問題の設定

与えられた環はZ[√−5]で、Iは(2, 1 + √−5)として定義されています。この問題では、Iが単項イデアルでないこと、そしてI^2が単項イデアルであることを示す必要があります。まずは、単項イデアルとその定義について復習してみましょう。

単項イデアルとは？

単項イデアルは、ある単一の元により生成されるイデアルです。つまり、イデアルIが単項である場合、I = (a)という形で書ける元aが存在するということです。イデアルIが(2, 1 + √−5)のように、複数の元で生成されている場合、それが単項イデアルでないことを示すためには、単一の元では表せないことを証明する必要があります。

イデアルIが単項でないことの証明

I = (2, 1 + √−5)が単項イデアルでないことを証明するためには、(2, 1 + √−5)が単一の元で生成できないことを示す必要があります。まず、Iに含まれる2と1 + √−5の2つの元が、単項イデアルの条件を満たさない理由を考えます。具体的には、これらの元が互いに素な関係にあり、1つの元で表せないことがポイントです。

I^2が単項イデアルであることの証明

次に、I^2が単項イデアルであることを示します。I^2は、Iのすべての元の積から生成されるイデアルです。I = (2, 1 + √−5)における積を計算すると、特定の元が生成され、その元でイデアルを表現できることがわかります。この元が単項イデアルを形成する理由について詳しく見ていきましょう。

まとめ

この問題を解くことで、イデアルが単項であるかどうか、またその積が単項イデアルを形成する条件を理解することができました。イデアルに関する問題は、証明を通じてその構造を理解する良い練習になります。今後の数学の学習にも役立つ内容です。