中3数学平方根の利用：√18nと√6n+1が整数となる自然数nの最小値を求める解法

中学3年生の数学で登場する平方根を利用した問題の一例として、次の問題があります。

「√18nと√6n+1がともに整数となるような自然数nのうち最小の値を求めよ。」

問題の理解

まず、この問題を解くためには「平方根」が整数になるための条件を理解する必要があります。具体的には、√xが整数となるためにはxが完全平方数である必要があります。つまり、nに適切な値を求めるために、nを代入したときに√18nと√6n+1が整数になる条件を見つける必要があります。

まず、√18nが整数となるためには、18nが完全平方数でなければなりません。18nが完全平方数であるためには、18nを素因数分解したときに、各素因数の指数が偶数でなければなりません。

18は2×3²ですので、nが3の倍数であれば√18nは整数になります。これで、nは3の倍数である必要があるとわかります。

次に、√6n+1が整数となるためには、6n+1が完全平方数である必要があります。したがって、6n+1をx²とおいて、x² = 6n + 1 という式を立てます。これを解くことでnの条件を見つけます。

6n = x² – 1 となり、n = (x² – 1) / 6 です。nが自然数であるためには、x² – 1が6で割り切れる必要があります。したがって、x² ≡ 1 (mod 6) という条件を満たすxを見つけます。

x² ≡ 1 (mod 6) を満たす最小のxを調べると、x = 1, 5が候補となります。それぞれのxについてnを計算すると、最小のnが得られます。

この問題を解くためには、√18nと√6n+1が整数となる条件を順を追って解き、最小のnを求める必要があります。最小のnの値を求めることで、問題を解決することができます。