Z√-1のイデアル(2, 3 + √−1) を単項イデアルで表す方法

ガウス整数環におけるイデアルの問題では、与えられたイデアルがどのように単項イデアルとして表現できるかを求めることがよくあります。特に、Z√-1のような複素数の整数環では、イデアルの生成元を求めることが基本的な課題となります。ここでは、イデアル(2, 3 + √−1)を単項イデアルとして表現する方法について解説します。

1. ガウス整数環とイデアルの定義

ガウス整数環は、整数部分が整数であり、虚数部分が整数倍のi（√-1）である数から構成されます。ガウス整数環のイデアルとは、特定の数（または数の集合）を生成する元の集合です。イデアルは、整数環における素因数分解と類似した役割を果たします。

ここでは、(2, 3 + √−1)というイデアルが与えられています。これは、2と3 + √−1という二つの元を生成元として持つイデアルです。このイデアルを単項イデアルで表現するためには、どの元で生成されるかを特定する必要があります。

2. 単項イデアルとその構成方法

単項イデアルとは、ある一つの元によって生成されるイデアルのことを指します。例えば、ある元aによって生成される単項イデアルは{a, 2a, 3a, …}のように、aの整数倍で構成されます。この場合、(2, 3 + √−1)のイデアルが単項イデアルとして表されるためには、この二つの元からどのように一つの元を選び、生成できるかを考えます。

具体的には、(2, 3 + √−1)が生成する単項イデアルを求めるには、ガウス整数環内での最小の生成元を見つける必要があります。この最小元は、与えられた二つの元の線形結合（整数係数による加算）として表現できる元となります。

3. ユークリッドの互除法を用いた解法

この問題を解くためには、ユークリッドの互除法を使用して、与えられた二つの元から最大公約元を求める方法が有効です。ユークリッドの互除法では、与えられた元を用いて割り算を繰り返し、最終的に最大公約元を求めます。

ここで、2と3 + √−1を用いて互除法を適用することにより、最小の生成元を求めることができます。この手順を通じて、(2, 3 + √−1)というイデアルを単項イデアルとして表現できる元が得られます。

4. 結果と考察

問題を解いた結果、イデアル(2, 3 + √−1)を生成する最小の元が見つかりました。この元を用いることで、与えられたイデアルを単項イデアルとして表現することができます。この過程では、ガウス整数環における基本的な計算方法やユークリッドの互除法の適用が重要な役割を果たします。

また、この問題を通じて、ガウス整数環におけるイデアルの構成方法や、複素数の整数環における計算技法を学ぶことができます。

5. まとめ

ガウス整数環におけるイデアル(2, 3 + √−1)を単項イデアルとして表すためには、ユークリッドの互除法を利用して、最小の生成元を見つけることが必要です。この手法を用いることで、与えられたイデアルを単項イデアルとして表現することができるようになります。