論理学における量化子の法則：存在と全称の等式について

この質問では、論理学の量化子に関する法則、特に存在記号（∃）と全称記号（∀）に関連する等式について考えています。具体的には、いくつかの論理式の成り立ちについての質問です。これを理解するために、論理式の解釈とその証明方法について詳しく解説します。

存在量化子と全称量化子の意味

論理学における「∃x（存在量化子）」は「xが存在する」と言う意味であり、「∀x（全称量化子）」は「すべてのxについて成り立つ」といった意味です。これらの記号を使った式では、対象となる変数がその範囲内でどう振る舞うかを表現します。

たとえば、∃x A(x)という式は、「xに関してA(x)が成り立つxが存在する」という意味です。また、∀x A(x)は、「すべてのxに対してA(x)が成り立つ」と解釈します。

質問に関する論理式の成り立ち

質問にある論理式「∃x (A ∧ B) ≡ (∃x A) ∧ (∃x B)」について見てみましょう。この式は一見すると成り立ちそうに思えますが、実際には一般的に成り立ちません。理由は、存在量化子の使い方にあります。

「∃x (A ∧ B)」は「AとBが同時に成り立つxが存在する」と読みますが、これが「(∃x A) ∧ (∃x B)」に分解されるとは限りません。後者は「Aが成り立つxが存在し、Bも成り立つxが存在する」という意味になりますが、これらのxが同じであるとは限りません。したがって、この式は成り立たない場合があります。

全称量化子を使った法則

次に、全称量化子を使った式「∀x (A ∨ B) ≡ (∀x A) ∨ (∀x B)」について考えます。この式もまた成り立ちません。左辺は「すべてのxについて、AまたはBが成り立つ」という意味ですが、右辺は「すべてのxについてAが成り立つか、すべてのxについてBが成り立つ」という意味になります。

この違いから、全称量化子の左辺と右辺の式は必ずしも同じ結果にならないことがわかります。実際、右辺の式が成立するためには、AまたはBがすべてのxに対して同時に成り立つ必要があるため、一般的には成り立たないことが多いです。

まとめ

「∃x (A ∧ B) ≡ (∃x A) ∧ (∃x B)」と「∀x (A ∨ B) ≡ (∀x A) ∨ (∀x B)」の両方の式は、一般的に成り立たないことがわかります。量化子を使った論理式を扱う際には、その意味と条件を正しく理解することが非常に重要です。特に、量化子の範囲が異なる場合にどのような違いが生じるかを把握することが、論理学の基本的な理解を深める鍵となります。