数学の問題において、ルートを使った計算はしばしば混乱を招くことがあります。特に、√(－5)²とルートa²b²の計算結果が異なる理由については、よく質問されるテーマです。この記事では、これらの計算がなぜ異なる結果を出すのか、その理由をわかりやすく解説します。
1. ルートと二乗の基本的な概念
まず、√(x)の意味を確認しましょう。√(x)は、xの平方根を意味します。つまり、xの二乗が元の数に戻る数です。一方、二乗（x²）は、xを自分自身で掛け算した結果です。
例えば、√25は5ですが、-5でも二乗すれば25になります。これを理解することで、後の計算の違いが分かりやすくなります。
2. √(－5)²の計算方法
次に、√(－5)²の計算について見ていきましょう。ここでのポイントは、「√と²は互いに反対の操作である」ということです。具体的には、√(－5)²は、まず(－5)を二乗した値を取ります。この場合、(－5)²は25です。
その後、√(25)を求めると、結果は5です。このように、√(－5)²の結果は5になります。重要なのは、二乗と平方根が互いに打ち消し合うため、符号の違いは結果に影響しないという点です。
3. ルートa²b²（a＞0, b＜0）の計算
次に、ルートa²b²の計算について考えます。この場合、aとbはそれぞれ実数で、a＞0、b＜0とされています。まず、a²とb²を掛け算すると、a²b²という数が得られます。次に、√(a²b²)を計算すると、これはaとbの絶対値を掛け算した値に等しくなります。
具体的に、例えばa=3、b=-4の場合、a²b²=3²×(－4)²=9×16=144となります。そして、√144は12です。ここで、絶対値を取ることが重要です。従って、√(a²b²)は-3×-4ではなく、3×4という計算になります。
4. ルートの計算における重要なポイント
ルートを計算する際には、常に「絶対値を考慮する」ことが重要です。特に、負の数を平方根する場合、その結果には注意が必要です。√(－x)という形で平方根を取る場合、複素数を考える必要がありますが、ここでは実数での計算に絞って解説しています。
また、√(－5)²のように二乗と平方根が組み合わさった計算では、最初に二乗を取り、その後平方根を求めるという手順を踏んで計算します。
5. まとめ
√(－5)²とルートa²b²の計算は、数学的な操作の順序と絶対値の取り扱いによって結果が異なります。√(－5)²は符号に関係なく5になり、ルートa²b²はaとbの絶対値を掛け算した結果になります。
これらの違いを理解することで、ルートの計算における混乱を避け、正確な結果を得ることができるようになります。
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