積分の問題で、被積分関数が同じであっても、計算結果が異なることがあります。特に、対数関数に関連する積分では、計算方法や変数の置換によって結果が異なることがあります。この記事では、2つの積分式が同じ結果になるかどうかを確認し、それぞれの計算過程を解説します。
積分式の確認と問題設定
与えられた2つの積分式は以下の通りです。
1. ∫ (1 / (1 – t)) + (1 / (1 + t)) dt
2. ∫ (1 / (t + 1)) – (1 / (t – 1)) dt
これらの積分が同じ結果になるのか、またそれぞれの積分式をどう解くべきかを見ていきます。
最初の積分式の計算
まず、最初の積分式を計算してみましょう。
∫ (1 / (1 – t)) + (1 / (1 + t)) dt
この積分は、2つの分数項に分かれています。それぞれを積分することを考えます。
∫ (1 / (1 – t)) dt と ∫ (1 / (1 + t)) dt
これらの積分は、対数関数の積分の形になります。具体的には。
∫ (1 / (1 – t)) dt = -log|1 – t|
∫ (1 / (1 + t)) dt = log|1 + t|
したがって、最初の積分の結果は次のように表されます。
-log|1 – t| + log|1 + t|
2番目の積分式の計算
次に、2番目の積分式を計算します。
∫ (1 / (t + 1)) – (1 / (t – 1)) dt
この式も同様に、2つの分数項に分かれています。最初の項と2番目の項を積分すると、それぞれ次のように計算できます。
∫ (1 / (t + 1)) dt = log|t + 1|
∫ (1 / (t – 1)) dt = -log|t – 1|
したがって、2番目の積分の結果は次のように表されます。
log|t + 1| – log|t – 1|
結果の確認と解釈
これで、2つの積分結果を比較してみましょう。
最初の積分結果：-log|1 – t| + log|1 + t|
2番目の積分結果：log|t + 1| – log|t – 1|
実は、最初の積分式の結果と2番目の積分式の結果は等価です。最初の式を少し整理すると、次のように書き換えられます。
log|1 + t| – log|1 – t| = log| (1 + t) / (1 – t) |
2番目の積分結果も、同様に書き換えることができます。
log| (t + 1) / (t – 1) |
これにより、2つの積分結果が同じになることが確認できました。
t = sin(x) と置換している場合の確認
問題文では、t = sin(x) という置換が使われています。置換によって積分式がどのように変わるのかを確認するためには、t = sin(x) を使った変換後の式を慎重に計算する必要があります。
t = sin(x) を代入することで、積分の形が簡単になり、最終的に同じ結果になることが確認できるでしょう。
まとめ
与えられた2つの積分式は、計算結果として同じ答えになります。対数関数の積分において、式を整理することで、異なる見た目の式が等価であることが確認できました。また、t = sin(x) という置換を使うことで、式を簡単に変換できることも理解できました。数学の積分問題では、式の変形や整理をしっかり行うことが重要です。
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