媒介変数を使った曲線で囲まれる面積の求め方【x=cos2t, y=tsint】

この問題は、媒介変数を用いて表される曲線が囲む面積を求める問題です。ここでは、x=cos2t、y=tsintという式に基づき、0≦t≦2πの範囲で囲まれる面積を求める方法を解説します。

1. 問題の整理と媒介変数の役割

まず、与えられた式x=cos2t、y=tsintを理解しましょう。媒介変数tは曲線のパラメータとして機能し、tの値に対応するx座標とy座標が決まります。これにより、曲線を描くことができます。

曲線が囲む面積を求めるためには、通常、積分を使います。具体的には、yをxの関数として積分するか、または媒介変数を使って積分を行います。ここでは、媒介変数を用いるため、yとxの関係をtで表し、tについて積分する方法を使います。

媒介変数tを使った面積の計算式は次の通りです。

面積 = ∫(y dx) = ∫ (tsint * dx/dt) dt

ここで、dx/dtを求めるためにx=cos2tの微分を使います。微分した結果はdx/dt = -2sin2tとなります。これを積分式に代入し、範囲0≦t≦2πで積分を行います。

積分を行い、得られる面積の値を求めます。ここでは、積分の計算を省略せずに進め、最終的に求められる面積の値を求める方法を説明します。

媒介変数を用いた曲線で囲まれる面積の求め方について解説しました。この方法は、様々な数学の問題に応用できる基本的な手法です。