関数がどのような場合に連続しないのかを理解することは、数学の重要なトピックです。この記事では、与えられた関数がどのようにして連続性を持たない点を見つけるのか、またその不連続点をどう求めるのかを具体的に解説します。
関数の定義と連続性について
関数の連続性は、その関数がグラフ上で途切れず、スムーズに描かれるかどうかに関わります。関数f(x)がある点で連続であるためには、その点で以下の3つの条件が満たされなければなりません：
1. f(x)がその点で定義されていること
2. 関数の極限がその点で存在すること
3. その点で関数の値がその極限と一致することです。
これを踏まえ、与えられた関数f(x)がどのような場合に連続しないかを理解することが重要です。
関数f(x)の解析
与えられた関数f(x)は、lim[n→∞]の形式で定義されています。この場合、無限大に近づくときの振る舞いがキーとなります。まず、xの範囲に応じたf(x)の挙動を見ていきましょう。
1. -1 < x < 1の範囲では、x^n（xのn乗）の値は0に近づきます。このため、f(x)は0となります。
2. x = 1の場合、f(x) = 1/(1 + 1 + 1) = 1/3となり、定数値として存在します。
3. x > 1の場合、x^nは無限大に近づくため、f(x)は1/(x^2 + 1)という形に収束します。
不連続点の特定
関数f(x)が連続でない点は、x = 1であることがわかります。ここで、関数の挙動が異なり、x = 1における値とx > 1の場合の挙動が一致しません。この点で関数が連続しないため、x = 1が不連続点となります。
次に、不連続点x = 1における値f(1)と同じ値を取るxの値を求めます。これは、f(x)が不連続な点での値を他の点で追いかける問題です。具体的には、f(1) = 1/3に一致するxを求めます。
x = √2となる理由
1/3 = 1/(x^2 + 1)という式を使って、xの値を求めます。この方程式を解くと、x^2 + 1 = 3となり、x^2 = 2、よってx = √2となります。したがって、x = √2がf(1)と一致する値を取る点となります。
まとめ：不連続点と連続性の理解
関数の連続性を理解することは、数学の基本的な考え方です。指数関数やその無限級数の挙動を調べることで、連続性のない点を見つけることができます。この問題では、x = 1が不連続点となり、f(1)と一致する値を取るxとしてx = √2が求められました。
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