行列のトレースについて：行列のトレースが存在しない場合とは？

行列のトレースは、正方行列において対角線上の要素の和を意味します。しかし、非正方行列においてトレースがどう定義されるのか、またトレースが存在しない場合があるのかについては疑問に思うことがあるかもしれません。この記事では、行列のトレースの概念と、トレースが存在しない場合について解説します。

行列のトレースとは？

行列のトレースは、行列の対角線上にある要素の合計を指します。具体的には、行列Aがn×nの正方行列の場合、トレースはAの(1,1), (2,2), …, (n,n)の要素を足したものです。このトレースは、行列がどれだけ「伸びている」かを示す指標で、特に固有値との関係が重要です。

例えば、行列Aが次のような場合。

A = [ [a, b], [c, d] ]

この行列のトレースはa + dとなります。

トレースは基本的に正方行列に対して定義されます。非正方行列、たとえば3×4行列などでは、対角線上の要素を定義できないため、トレースは存在しません。

例えば、3×4行列であれば、行と列の数が異なるため、対角線上に一意に対応する要素が存在しないことになります。このため、トレースを定義することはできません。

行列のトレースが存在しない場合については、主に2つのケースが考えられます。まず、行列が非正方行列の場合です。この場合、行と列の数が一致しないため、トレースという概念が成り立ちません。

もう一つのケースとして、行列の次元が不完全である場合です。この場合も、行列の対角線上に要素が存在しないことになり、トレースを計算することができません。

例えば、3×4行列の場合。

A = [ [a, b, c, d], [e, f, g, h], [i, j, k, l] ]

このような行列では、対角線上の要素が定義されていないため、トレースは計算できません。行列のトレースは正方行列にしか存在しないということを理解しておくことが重要です。

行列のトレースは、正方行列においてのみ有効な概念であり、非正方行列にはトレースは存在しません。3×4行列などの非正方行列においては、対角線上の要素が一意に定義できないため、トレースを求めることはできません。この点を押さえておくことが、行列の理解を深める上で重要です。